Determine a solução geral das seguintes EDOs.
(i) \frac{d u}{d t}=\frac{1+u^{2}}{1+t^{2}}
(ii) \frac{d s}{d t}+\frac{s}{t}=\cos t+\frac{\operatorname{sen} t}{t}
(iii) \frac{d y}{d x}=1+x+y^{2}+x y^{2}
(iv) \frac{d y}{d x}=2 x\left(e^{-x^{2}}-y\right)
(v) y^{\prime}=x^{3} y^{3}-x y

Passo 1

Você me deu cinco equações diferenciais ordinárias e pediu a solução geral de cada uma. Vou listar cada enunciado e o que é pedido, sem resolver ainda:
  1. (i) \dfrac{du}{dt}=\dfrac{1+u^{2}}{1+t^{2}}. Pedem a solução geral u(t).
  2. (ii) \dfrac{ds}{dt}+\dfrac{s}{t}=\cos t+\dfrac{\sin t}{t}. Pedem a solução geral s(t). Note que a equação está escrita para t\neq 0.
  3. (iii) \dfrac{dy}{dx}=1+x+y^{2}+x y^{2}. Pedem a solução geral y(x).
  4. (iv) \dfrac{dy}{dx}=2 x\bigl(e^{-x^{2}}-y\bigr). Pedem a solução geral y(x).
  5. (v) y^{\prime}=x^{3}y^{3}-x y. Pedem a solução geral y(x).

    Em cada caso vou usar o método apropriado (separação de variáveis quando possível, fator integrante em equações lineares de 1ª ordem, ou transformação de Bernoulli quando for o caso) e apresentar passo a passo as contas e a teoria necessária.

Passo 2

(i) Identificação e separação. A EDO
\frac{du}{dt}=\frac{1+u^{2}}{1+t^{2}}
é separável porque o lado direito é produto de uma função de u por uma função de t (explicitamente (1+u^{2})\cdot(1/(1+t^{2}))). Em uma EDO separável a ideia é colocar todos os termos com u de um lado e todos os termos com t do outro e integrar. Então escrevemos:
\frac{du}{1+u^{2}}=\frac{dt}{1+t^{2}}.

Passo 3

(i) Integração e solução. Agora integramos ambos os lados. A integral básica que usamos é
\int \frac{dz}{1+z^{2}}=\arctan z + C,
porque a derivada de \arctan z é 1/(1+z^{2}). Aplicando isso a cada lado obtemos
\arctan u = \arctan t + C,
onde C é constante de integração. Agora resolvemos para u. Tomando a tangente em ambos os lados (lembre que tangente é a inversa de \arctan), fica
u(t)=\tan\bigl(\arctan t + C\bigr).
Essa é a forma geral; uma forma alternativa usando identidade da tangente da soma seria possível, mas essa é limpa e suficiente para a prova.

Passo 4

(ii) Identificação e fator integrante. A equação
\frac{ds}{dt}+\frac{s}{t}=\cos t+\frac{\sin t}{t}
é uma equação linear de 1ª ordem na forma padrão \dfrac{ds}{dt}+P(t)s=Q(t) com P(t)=1/t e Q(t)=\cos t+\dfrac{\sin t}{t}. O método padrão é multiplicar por um fator integrante
\mu(t)=\exp\Big(\int P(t)\,dt\Big)=\exp\Big(\int \frac{1}{t}\,dt\Big)=\exp(\ln|t|)=|t|.
Como estamos considerando t\neq 0 e para a solução geral costumamos trabalhar em um intervalo onde t>0 ou t<0, podemos usar \mu(t)=t (tomando sinal apropriado se necessário). Multiplicamos a equação por t.

Passo 5

(ii) Uso do fator integrante e integração. Multiplicando por t obtemos
t\frac{ds}{dt}+s = t\cos t + \sin t.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t s, pois
\frac{d}{dt}(t s)=t\frac{ds}{dt}+s.
Portanto
\frac{d}{dt}(t s)=t\cos t + \sin t.
Observe que o lado direito é a derivada de t\sin t, pois
\frac{d}{dt}(t\sin t)=\sin t + t\cos t.
Logo podemos integrar imediatamente:
t s = t\sin t + C,
onde C é constante. Dividindo por t (novamente t\neq 0):
s(t)=\sin t + \frac{C}{t}.

Passo 6

(iii) Identificação e separação. A EDO
\frac{dy}{dx}=1+x+y^{2}+x y^{2}
pode ser reorganizada reunindo termos:
\frac{dy}{dx}=(1+x)+(1+x)y^{2}=(1+x)(1+y^{2}).
Assim, é uma equação separável. Separamos variáveis:
\frac{dy}{1+y^{2}}=(1+x)\,dx.

Passo 7

(iii) Integração e solução. Integramos ambos os lados. Usamos novamente \int \dfrac{dz}{1+z^{2}}=\arctan z. Então
\arctan y = \int (1+x)\,dx = x+\frac{x^{2}}{2}+C.
Isolando y,
y(x)=\tan\!\Bigl(x+\frac{x^{2}}{2}+C\Bigr).

Passo 8

(iv) Identificação e fator integrante. A equação
\frac{dy}{dx}=2x\bigl(e^{-x^{2}}-y\bigr)
pode ser escrita na forma linear padrão:
\frac{dy}{dx}+2x\,y=2x e^{-x^{2}}.
Aqui P(x)=2x. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Big(\int 2x\,dx\Big)=\exp(x^{2})=e^{x^{2}}.

Passo 9

(iv) Multiplicação pelo fator integrante e integração. Multiplicando a equação por e^{x^{2}} obtemos
e^{x^{2}}\frac{dy}{dx}+2x e^{x^{2}} y = 2x.
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}} y\bigr) porque \dfrac{d}{dx}(e^{x^{2}}y)=e^{x^{2}}\dfrac{dy}{dx}+2x e^{x^{2}}y. Então
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}} y\bigr)=2x.
Integramos:
e^{x^{2}} y = \int 2x\,dx = x^{2} + C.
Portanto
y(x)=\bigl(x^{2}+C\bigr)e^{-x^{2}}.

Passo 10

(v) Identificação: forma de Bernoulli. A equação
y' = x^{3}y^{3}-x y
pode ser escrita como
y' + x y = x^{3}y^{3}.
Isso é uma equação de Bernoulli com P(x)=x, Q(x)=x^{3} e expoente n=3. A transformação padrão para Bernoulli é definir
v=y^{1-n}=y^{-2}.
Vou explicar a ideia: para a Bernoulli
y' + P(x)y = Q(x)y^{n},
a transformação v=y^{1-n} transforma a equação numa linear em v. Vou fazer a derivação passo a passo para não deixar dúvida.

Passo 11

(v) Transformação e obtenção da equação linear. Com v=y^{-2} temos
\frac{dv}{dx} = -2 y^{-3}\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} em termos de dv/dx
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} y^{3}\frac{dv}{dx}.
Substituindo y' na equação original y' + x y = x^{3}y^{3} obtemos
-\frac{1}{2} y^{3}\frac{dv}{dx} + x y = x^{3}y^{3}.
Dividindo tudo por y (assumindo y\neq 0; depois consideramos a possibilidade y\equiv 0) e lembrando que y^{2}=1/v, obtemos
-\frac{1}{2} y^{2}\frac{dv}{dx} + x = x^{3}y^{2}.
Substituindo y^{2}=1/v e multiplicando por 2:
- \frac{1}{v}\frac{dv}{dx} + 2x = 2x^{3}\frac{1}{v}.
Multiplicando por v resulta
- \frac{dv}{dx} + 2x v = 2x^{3}.
Ou, reorganizando,
\frac{dv}{dx} - 2x v = -2x^{3}.
Essa é uma equação linear de 1ª ordem em v.

Passo 12

(v) Resolução da linear para v. O coeficiente P(x) aqui é -2x, então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\Big(\int -2x\,dx\Big)=\exp(-x^{2})=e^{-x^{2}}.
Multiplicando pela fator integrante:
e^{-x^{2}}\frac{dv}{dx} - 2x e^{-x^{2}} v = -2x^{3} e^{-x^{2}}.
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}} v\bigr). Assim
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}} v\bigr) = -2x^{3} e^{-x^{2}}.
Integramos o lado direito. Para integrar \int -2x^{3} e^{-x^{2}} dx fazemos a substituição u=x^{2}, du=2x dx. Note que x^{3}dx = x^{2}\cdot x dx = u\cdot \dfrac{du}{2}. Então
\int -2x^{3} e^{-x^{2}} dx = \int -u e^{-u} du.
Integrando por partes (ou lembrando da primitiva) obtemos
\int -u e^{-u} du = (u+1)e^{-u} + C.
Voltando à variável x ( u=x^{2}) temos
\int -2x^{3} e^{-x^{2}} dx = (x^{2}+1)e^{-x^{2}} + C.
Portanto
e^{-x^{2}} v = (x^{2}+1)e^{-x^{2}} + C,
e isolando v:
v(x)=x^{2}+1 + C e^{x^{2}}.

Passo 13

(v) Voltar para y. Lembre que v=y^{-2}. Assim
y^{-2}=x^{2}+1 + C e^{x^{2}}.
Tomando a raiz quadrada e lembrando o sinal, a solução geral é
y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1 + C e^{x^{2}}}}.
Também existe a solução singular y\equiv 0 que podemos verificar na equação original: substituindo y=0 obtemos y'=0, e a RHS é 0, então y\equiv 0 é solução. A forma com constante C acima cobre soluções não idênticamente nulas.

Resposta

(i) u(t)=\tan\bigl(\arctan t + C\bigr)
(ii) s(t)=\sin t + \dfrac{C}{t}
(iii) y(x)=\tan\!\Bigl(x+\dfrac{x^{2}}{2}+C\Bigr)
(iv) y(x)=\bigl(x^{2}+C\bigr)e^{-x^{2}}
(v) y(x)=\pm\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1 + C e^{x^{2}}}} (além da solução singular y\equiv 0)

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