Determine a solução geral das seguintes EDOs.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Passo 1
Você me deu cinco equações diferenciais ordinárias e pediu a solução geral de cada uma. Vou listar cada enunciado e o que é pedido, sem resolver ainda:
- (i)
. Pedem a solução geral .
- (ii)
. Pedem a solução geral . Note que a equação está escrita para .
- (iii)
. Pedem a solução geral .
- (iv)
. Pedem a solução geral .
- (v)
. Pedem a solução geral .
Em cada caso vou usar o método apropriado (separação de variáveis quando possível, fator integrante em equações lineares de 1ª ordem, ou transformação de Bernoulli quando for o caso) e apresentar passo a passo as contas e a teoria necessária.
Passo 2
(i) Identificação e separação. A EDO
é separável porque o lado direito é produto de uma função de
por uma função de
(explicitamente
). Em uma EDO separável a ideia é colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro e integrar. Então escrevemos:
Passo 3
(i) Integração e solução. Agora integramos ambos os lados. A integral básica que usamos é
porque a derivada de
é
. Aplicando isso a cada lado obtemos
onde
é constante de integração. Agora resolvemos para
. Tomando a tangente em ambos os lados (lembre que tangente é a inversa de
), fica
Essa é a forma geral; uma forma alternativa usando identidade da tangente da soma seria possível, mas essa é limpa e suficiente para a prova.
Passo 4
(ii) Identificação e fator integrante. A equação
é uma equação linear de 1ª ordem na forma padrão
com
e
. O método padrão é multiplicar por um fator integrante
Como estamos considerando
e para a solução geral costumamos trabalhar em um intervalo onde
ou
, podemos usar
(tomando sinal apropriado se necessário). Multiplicamos a equação por
.
Passo 5
(ii) Uso do fator integrante e integração. Multiplicando por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto
Observe que o lado direito é a derivada de
, pois
Logo podemos integrar imediatamente:
onde
é constante. Dividindo por
(novamente
):
Passo 6
(iii) Identificação e separação. A EDO
pode ser reorganizada reunindo termos:
Assim, é uma equação separável. Separamos variáveis:
Passo 7
(iii) Integração e solução. Integramos ambos os lados. Usamos novamente
. Então
Isolando
,
Passo 8
(iv) Identificação e fator integrante. A equação
pode ser escrita na forma linear padrão:
Aqui
. O fator integrante é
Passo 9
(iv) Multiplicação pelo fator integrante e integração. Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é
porque
. Então
Integramos:
Portanto
Passo 10
(v) Identificação: forma de Bernoulli. A equação
pode ser escrita como
Isso é uma equação de Bernoulli com
,
e expoente
. A transformação padrão para Bernoulli é definir
Vou explicar a ideia: para a Bernoulli
a transformação
transforma a equação numa linear em
. Vou fazer a derivação passo a passo para não deixar dúvida.
Passo 11
(v) Transformação e obtenção da equação linear. Com
temos
Isolando
em termos de
dá
Substituindo
na equação original
obtemos
Dividindo tudo por
(assumindo
; depois consideramos a possibilidade
) e lembrando que
, obtemos
Substituindo
e multiplicando por
:
Multiplicando por
resulta
Ou, reorganizando,
Essa é uma equação linear de 1ª ordem em
.
Passo 12
(v) Resolução da linear para
. O coeficiente
aqui é
, então o fator integrante é
Multiplicando pela fator integrante:
O lado esquerdo é
. Assim
Integramos o lado direito. Para integrar
fazemos a substituição
,
. Note que
. Então
Integrando por partes (ou lembrando da primitiva) obtemos
Voltando à variável
(
) temos
Portanto
e isolando
:
Passo 13
(v) Voltar para
. Lembre que
. Assim
Tomando a raiz quadrada e lembrando o sinal, a solução geral é
Também existe a solução singular
que podemos verificar na equação original: substituindo
obtemos
, e a RHS é
, então
é solução. A forma com constante
acima cobre soluções não idênticamente nulas.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(além da solução singular
)