Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(\frac{3}{x^{3}}+2 x^{3 / 2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{3}{x^{3}}+2 x^{3 / 2}-1\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de três termos: \dfrac{3}{x^{3}}, 2x^{3/2} e -1.
  • Quer-se uma primitiva (ou antiderivada) dessa soma, isto é, uma função F(x) tal que F'(x) seja o integrando.
  • Ao final precisamos acrescentar a constante de integração, tipicamente denotada por C.

Passo 2

Ideias e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\big(a(x)+b(x)\big)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx, \qquad \int k\cdot a(x)\,dx=k\int a(x)\,dx,
onde k é constante.
  • Regra da potência (a mais importante aqui): para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação: a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} x^{n}, por isso essa é a primitiva. Atenção especial: se n=-1 a primitiva é \ln|x|, mas isso não ocorre neste problema.
  • Vamos aplicar essas regras termo a termo, escrevendo cada termo na forma x^{n} quando necessário.

Passo 3

Preparar cada termo para aplicar a regra da potência.
  • Primeiro termo: \dfrac{3}{x^{3}}=3x^{-3}. Aqui n=-3.
  • Segundo termo: 2x^{3/2}. Aqui n=\tfrac{3}{2}.
  • Terceiro termo: -1 pode ser visto como -1\cdot x^{0} com n=0.

Passo 4

Integrar o primeiro termo 3x^{-3} passo a passo.
Aplicando a regra da potência com n=-3:
\int 3x^{-3}\,dx = 3\int x^{-3}\,dx =3\cdot\frac{x^{-3+1}}{-3+1}+C_1 =3\cdot\frac{x^{-2}}{-2}+C_1.
Simplificando:
3\cdot\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{3}{2}x^{-2}.
Aqui C_1 é uma constante parcial que será absorvida na constante final.

Passo 5

Integrar o segundo termo 2x^{3/2} passo a passo.
Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{3}{2}:
\int 2x^{3/2}\,dx = 2\int x^{3/2}\,dx =2\cdot\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}+C_2 =2\cdot\frac{x^{5/2}}{5/2}+C_2.
Calcular o coeficiente numérico:
2\cdot\frac{1}{5/2}=2\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{5}.
Portanto
\int 2x^{3/2}\,dx=\frac{4}{5}x^{5/2}.

Passo 6

Integrar o terceiro termo -1 passo a passo.
\int -1\,dx = -\int 1\,dx = -x + C_3.

Passo 7

Somar as primitivas parciais (pela linearidade) e agrupar as constantes em uma única constante C.
As primitivas encontradas são:
-\frac{3}{2}x^{-2},\qquad \frac{4}{5}x^{5/2},\qquad -x.
Somando:
F(x)=-\frac{3}{2}x^{-2}+\frac{4}{5}x^{5/2}-x + C,
onde C é a constante de integração (absorve C_1+C_2+C_3). Se preferir, o primeiro termo pode ser escrito como -\dfrac{3}{2x^{2}}.

Resposta

-\dfrac{3}{2}x^{-2}+\dfrac{4}{5}x^{5/2}-x+C

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