Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de três termos:
, e . - Quer-se uma primitiva (ou antiderivada) dessa soma, isto é, uma função
tal que seja o integrando. - Ao final precisamos acrescentar a constante de integração, tipicamente denotada por
.
Passo 2
Ideias e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
- Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
onde
é constante.
- Regra da potência (a mais importante aqui): para qualquer número real
diferente de ,
Explicação: a derivada de
dá
, por isso essa é a primitiva. Atenção especial: se
a primitiva é
, mas isso não ocorre neste problema.
- Vamos aplicar essas regras termo a termo, escrevendo cada termo na forma
quando necessário.
Passo 3
Preparar cada termo para aplicar a regra da potência.
- Primeiro termo:
. Aqui . - Segundo termo:
. Aqui . - Terceiro termo:
pode ser visto como com .
Passo 4
Integrar o primeiro termo
passo a passo.
Aplicando a regra da potência com :
Aplicando a regra da potência com
Simplificando:
Aqui
é uma constante parcial que será absorvida na constante final.
Passo 5
Integrar o segundo termo
passo a passo.
Aplicando a regra da potência com :
Aplicando a regra da potência com
Calcular o coeficiente numérico:
Portanto
Passo 6
Integrar o terceiro termo
passo a passo.
Passo 7
Somar as primitivas parciais (pela linearidade) e agrupar as constantes em uma única constante
.
As primitivas encontradas são:
As primitivas encontradas são:
Somando:
onde
é a constante de integração (absorve
). Se preferir, o primeiro termo pode ser escrito como
.