Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(x^{5 / 2}-\frac{5}{x^{4}}-\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{5/2}-\frac{5}{x^{4}}-\sqrt{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{5/2}-\dfrac{5}{x^{4}}-\sqrt{x}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a integranda.
  • Deve-se acrescentar a constante de integração C ao final.

Passo 2

Vamos usar duas coisas básicas e fáceis:
  1. Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Ou seja,
\int\big(a(x)+b(x)+c(x)\big)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx+\int c(x)\,dx.
  1. Regra do poder (power rule) para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente de x. Dividir por n+1 significa multiplicar por \dfrac{1}{n+1}. Se n for negativo ou fracionário isso vale do mesmo jeito, desde que n\neq-1.

Passo 3

Primeiro reescrevo todos os termos com potências de x:
  • x^{5/2} já está em potência.
  • -\dfrac{5}{x^{4}}=-5x^{-4}.
  • -\sqrt{x}=-x^{1/2}.
Portanto a integral vira
\int\left(x^{5/2}-5x^{-4}-x^{1/2}\right)\,dx.

Passo 4

Integro termo a termo usando a regra do poder.
Para o primeiro termo, x^{5/2}:
aqui n=\tfrac{5}{2}. Então
\int x^{5/2}\,dx=\frac{x^{5/2+1}}{5/2+1}=\frac{x^{7/2}}{7/2}.
Dividir por 7/2 é multiplicar por 2/7, logo
\int x^{5/2}\,dx=\frac{2}{7}x^{7/2}.

Passo 5

Para o segundo termo, -5x^{-4}:
extraio a constante -5 e aplico a regra com n=-4:
\int -5x^{-4}\,dx=-5\int x^{-4}\,dx=-5\cdot\frac{x^{-4+1}}{-4+1}=-5\cdot\frac{x^{-3}}{-3}.
Multiplicando os sinais e números:
-5\cdot\frac{1}{-3}=\frac{5}{3},
portanto
\int -5x^{-4}\,dx=\frac{5}{3}x^{-3}.
Se preferir em forma sem expoente negativo, \frac{5}{3}x^{-3}=\frac{5}{3x^{3}}.

Passo 6

Para o terceiro termo, -x^{1/2}:
aqui n=\tfrac{1}{2}. Assim
\int -x^{1/2}\,dx=-\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=-\frac{x^{3/2}}{3/2}.
Dividir por 3/2 é multiplicar por 2/3, então
\int -x^{1/2}\,dx=-\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 7

Agora junto todas as primitivas obtidas e adiciono a constante de integração C:
F(x)=\frac{2}{7}x^{7/2}+\frac{5}{3}x^{-3}-\frac{2}{3}x^{3/2}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{7}x^{7/2}+\frac{5}{3}x^{-3}-\frac{2}{3}x^{3/2}+C

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