Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é o produto de
por . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Devemos fornecer a resposta com a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática):
Aqui a integranda é um polinômio em (se expandirmos). Integrar polinômios termo a termo usando a regra da potência é a técnica mais direta e elementar. Substituições do tipo
não ajudam muito porque
envolve
e o integrando não tem um fator
isolado. Portanto vamos expandir
, multiplicar por
e integrar termo a termo.
Aqui a integranda é um polinômio em
Passo 3
Calcular
fazendo a multiplicação:
Passo 4
Multiplicar
pelo resultado do passo anterior usando distributiva:
Primeiro calcule e
:
Primeiro calcule
Somando ambos:
Passo 5
Reescrever a integral com o polinômio obtido:
Passo 6
Relembrando as regras básicas de integração que vamos usar:
- Regra da soma:
Isso permite integrar termo a termo. - Regra do fator constante:
para constante . - Regra da potência (para
): Aqui é um número real; é a variável de integração; é a constante de integração.
Passo 7
Aplicar a regra da potência a cada termo:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração
, obtemos a antiderivada:
Passo 9
Verificação rápida por derivação (checar que a primitiva é correta):
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Somando:
, que é exatamente
. Logo a primitiva está correta.