Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é o produto de \left(x^{2}+1\right) por \left(x^{2}+2\right)^{2}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)^{2}.
  • Devemos fornecer a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática):
Aqui a integranda é um polinômio em x (se expandirmos). Integrar polinômios termo a termo usando a regra da potência é a técnica mais direta e elementar. Substituições do tipo u=x^{2}+2 não ajudam muito porque du envolve x\,dx e o integrando não tem um fator x isolado. Portanto vamos expandir \left(x^{2}+2\right)^{2}, multiplicar por \left(x^{2}+1\right) e integrar termo a termo.

Passo 3

Calcular \left(x^{2}+2\right)^{2} fazendo a multiplicação:
\left(x^{2}+2\right)^{2}=(x^{2})^{2}+2\cdot x^{2}\cdot 2 + 2^{2}=x^{4}+4x^{2}+4.

Passo 4

Multiplicar \left(x^{2}+1\right) pelo resultado do passo anterior usando distributiva:
Primeiro calcule x^{2}\cdot (x^{4}+4x^{2}+4) e 1\cdot (x^{4}+4x^{2}+4):
x^{2}\cdot (x^{4}+4x^{2}+4)=x^{6}+4x^{4}+4x^{2},
1\cdot (x^{4}+4x^{2}+4)=x^{4}+4x^{2}+4.
Somando ambos:
(x^{2}+1)(x^{4}+4x^{2}+4)=x^{6}+5x^{4}+8x^{2}+4.

Passo 5

Reescrever a integral com o polinômio obtido:
\int\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)^{2}\,dx =\int\left(x^{6}+5x^{4}+8x^{2}+4\right)\,dx.

Passo 6

Relembrando as regras básicas de integração que vamos usar:
  • Regra da soma: \displaystyle \int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx. Isso permite integrar termo a termo.
  • Regra do fator constante: \displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx para constante k.
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n é um número real; x é a variável de integração; C é a constante de integração.

Passo 7

Aplicar a regra da potência a cada termo:
Para \displaystyle \int x^{6}\,dx:
\int x^{6}\,dx=\frac{x^{7}}{7}.
Para \displaystyle \int 5x^{4}\,dx:
\int 5x^{4}\,dx=5\cdot\frac{x^{5}}{5}=x^{5}.
Para \displaystyle \int 8x^{2}\,dx:
\int 8x^{2}\,dx=8\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{8x^{3}}{3}.
Para \displaystyle \int 4\,dx:
\int 4\,dx=4x.

Passo 8

Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada:
\frac{x^{7}}{7}+x^{5}+\frac{8x^{3}}{3}+4x+C.

Passo 9

Verificação rápida por derivação (checar que a primitiva é correta):
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{7}}{7}\right)=x^{6},\qquad \frac{d}{dx}\left(x^{5}\right)=5x^{4},
\frac{d}{dx}\left(\frac{8x^{3}}{3}\right)=8x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(4x)=4.
Somando: x^{6}+5x^{4}+8x^{2}+4, que é exatamente (x^{2}+1)(x^{2}+2)^{2}. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\frac{x^{7}}{7}+x^{5}+\frac{8x^{3}}{3}+4x+C

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