CALCULE A INTEGRAL DEFINIDA:
Passo 1
Enunciado e o que se pede: calcular a integral definida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Importante observar que, para
, temos e portanto , isto é, o denominador nunca é zero no intervalo. Logo a função é contínua em e a integral é própria (bem definida).
Passo 2
Escolha do método: substituição simples (também chamada mudança de variável). Por quê? Porque o denominador é
e o numerador contém
, que é (à constante multiplicativa) a derivada de
. Em integrais deste tipo é padrão tentar a substituição
pois a diferencial
envolve
e isso simplifica bastante a integral. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
e substituir:
Também trocamos os limites de integração em
para limites em
:
Passo 4
Reescrever a integral com a substituição e integrar:
Aqui usei
e
.
A primitiva de é
(lembrando que usamos valor absoluto porque
pode ser negativo). Portanto
A primitiva de
Passo 5
Avaliar o valor numérico:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos a forma compacta
Observação final: como
, o logaritmo é negativo, o que faz sentido porque o integrando é negativo no intervalo (denominador negativo, numerador não negativo).