CALCULE A INTEGRAL DEFINIDA:
\int_{0}^{1}\left(\frac{x^{2}}{x^{3}-5}\right) d x

Passo 1

Enunciado e o que se pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left(\frac{x^{2}}{x^{3}-5}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  1. O integrando é \dfrac{x^{2}}{x^{3}-5}.
  2. O intervalo de integração é [0,1].
  3. Importante observar que, para x\in[0,1], temos x^{3}\in[0,1] e portanto x^{3}-5\in[-5,-4], isto é, o denominador nunca é zero no intervalo. Logo a função é contínua em [0,1] e a integral é própria (bem definida).

Passo 2

Escolha do método: substituição simples (também chamada mudança de variável). Por quê? Porque o denominador é x^{3}-5 e o numerador contém x^{2}, que é (à constante multiplicativa) a derivada de x^{3}. Em integrais deste tipo é padrão tentar a substituição
u = x^{3}-5,
pois a diferencial du envolve x^{2}dx e isso simplifica bastante a integral. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular du e substituir:
u = x^{3}-5
du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Também trocamos os limites de integração em x para limites em u:
\text{quando } x=0,\; u=0^{3}-5=-5,
\text{quando } x=1,\; u=1^{3}-5=-4.

Passo 4

Reescrever a integral com a substituição e integrar:
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x^{3}-5}\,dx = \frac{1}{3}\int_{-5}^{-4}\frac{1}{u}\,du.
Aqui usei x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}du e \dfrac{1}{x^{3}-5}=\dfrac{1}{u}.
A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u| (lembrando que usamos valor absoluto porque u pode ser negativo). Portanto
\frac{1}{3}\int_{-5}^{-4}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\big[\ln|u|\big]_{-5}^{-4}.

Passo 5

Avaliar o valor numérico:
\frac{1}{3}\big[\ln|u|\big]_{-5}^{-4} = \frac{1}{3}\big(\ln|-4|-\ln|-5|\big) = \frac{1}{3}\big(\ln 4-\ln 5\big).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a-\ln b=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right), obtemos a forma compacta
\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{4}{5}\right).
Observação final: como \frac{4}{5}<1, o logaritmo é negativo, o que faz sentido porque o integrando é negativo no intervalo (denominador negativo, numerador não negativo).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{4}{5}\right)

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