Calcule as integrais indefinidas
\int\left(2 e^{x}-\frac{\operatorname{sen} x}{\cos ^{2} x}+\frac{2}{x^{7}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da soma de três parcelas
2e^{x},\quad -\frac{\sin x}{\cos^{2}x},\quad \text{e}\quad \frac{2}{x^{7}}.
O conteúdo aqui é a regra da soma de integrais e três casos:
  1. integral de exponencial,
  2. integral de função trigonométrica por substituição,
  3. integral de potência de x.

Passo 2

Para a primeira parte, usamos que
\int e^{x}dx=e^{x}.
Como há um fator 2, temos
\int 2e^{x}dx=2e^{x}.

Passo 3

Para a segunda parte,
\int -\frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx,
fazemos a substituição u=\cos x, de modo que du=-\sin x\,dx. Então
\int -\frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx =\int \frac{du}{u^{2}} =\int u^{-2}du =-u^{-1} =-\frac{1}{\cos x} =-\operatorname{sec} x.

Passo 4

Para a terceira parte, escrevemos
\frac{2}{x^{7}}=2x^{-7},
e usamos a fórmula \int x^{n}dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Aqui n=-7, então
\int 2x^{-7}dx =2\cdot\frac{x^{-6}}{-6} =-\frac{1}{3}x^{-6} =-\frac{1}{3x^{6}}.

Resposta

Somando as três partes e adicionando a constante C, obtemos
2e^{x}-\operatorname{sec} x-\frac{1}{3x^{6}}+C.

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