Calcule as integrais indefinidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Informações fornecidas:
- Integral a calcular:
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. No final devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Método escolhido: integrar termo a termo usando a propriedade de linearidade da integral e a regra do poder (power rule). Explicando as ideias usadas:
- Linearidade da integral:
onde
é constante.
- Regra do poder: para todo
,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração. Essa regra vem do fato de que a derivada de
é
(porque
e ao dividir por
fica
).
Aplicando isso é direto: vamos separar a integral em quatro integrais, uma por termo.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
:
Passo 4
Integrando o segundo termo
:
Passo 5
Integrando o terceiro termo
(aqui
, então
):
Passo 6
Integrando o quarto termo
(constante):
Passo 7
Somando todas as primitivas parciais e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 8
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando
deve voltar o integrando. Usando a regra da derivada
,
que é exatamente o integrando dado. Confere!