Calcule as integrais indefinidas.
\int\left(4 x^{3}-3 x^{2}+6 x-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Informações fornecidas:
  • Integral a calcular: \int\left(4 x^{3}-3 x^{2}+6 x-1\right)\,dx.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=4x^{3}-3x^{2}+6x-1. No final devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Método escolhido: integrar termo a termo usando a propriedade de linearidade da integral e a regra do poder (power rule). Explicando as ideias usadas:
  • Linearidade da integral: \int\bigl(a(x)+b(x)\bigr)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx, \qquad \int k\cdot a(x)\,dx = k\int a(x)\,dx,
onde k é constante.
  • Regra do poder: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração. Essa regra vem do fato de que a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é x^n (porque \dfrac{d}{dx}x^{n+1}=(n+1)x^{n} e ao dividir por n+1 fica x^n).
Aplicando isso é direto: vamos separar a integral em quatro integrais, uma por termo.

Passo 3

Integrando o primeiro termo \;4x^{3}\;:
\int 4x^{3}\,dx = 4\int x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}.

Passo 4

Integrando o segundo termo \;-3x^{2}\;:
\int -3x^{2}\,dx = -3\int x^{2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{3}}{3} = -x^{3}.

Passo 5

Integrando o terceiro termo \;6x\; (aqui x = x^{1}, então n=1):
\int 6x\,dx = 6\int x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2} = 3x^{2}.

Passo 6

Integrando o quarto termo \;-1\; (constante):
\int -1\,dx = -x.

Passo 7

Somando todas as primitivas parciais e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=x^{4}-x^{3}+3x^{2}-x+C.

Passo 8

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando F(x) deve voltar o integrando. Usando a regra da derivada \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
F'(x)=4x^{3}-3x^{2}+6x-1,
que é exatamente o integrando dado. Confere!

Resposta

x^{4}-x^{3}+3x^{2}-x+C

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