Use as técnicas de integração para calcular as integrais indefinidas.
\int 2 x e^{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2 x e^{x^{2}+1}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A variável de integração é x.
  • A integranda é o produto de 2x com a função exponencial e^{x^{2}+1}.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=2x e^{x^{2}+1}.
  • A resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da integranda (motivo do caminho que vamos seguir).
  • Repare que dentro da exponencial há a expressão x^{2}+1.
  • A derivada dessa expressão em relação a x é 2x, exatamente o outro fator presente na integranda.
    Isto sugere fazer uma troca de variável que simplifique a integral: substituir a expressão interna por uma nova variável.
Definição da substituição:
u = x^{2}+1.
Agora calculamos o diferencial du. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Aqui:
  • u é a nova variável (função de x);
  • du é seu diferencial, e vemos que 2x\,dx aparece exatamente na integral original.

Passo 3

Reescrever a integral em u.
Substituindo u e du na integral original obtemos
\int 2 x e^{x^{2}+1}\,dx = \int e^{u}\,du.
Explicação: trocamos o bloco x^{2}+1 por u dentro do expoente, e o bloco 2x\,dx por du. A integral ficou muito mais simples: integral da exponencial em u.

Passo 4

Calcular a integral em u.
A primitiva da função e^{u} é ela própria, isto é,
\int e^{u}\,du = e^{u} + C,
porque a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}. Aqui C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável x (retro-substituição).
Como u = x^{2}+1, substituímos de volta:
e^{u} + C = e^{x^{2}+1} + C.
Portanto uma primitiva da integranda original é e^{x^{2}+1}+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para garantir que está correto).
Diferenciando F(x)=e^{x^{2}+1} usando a regra da cadeia:
F'(x)=e^{x^{2}+1}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1)=e^{x^{2}+1}\cdot 2x = 2x e^{x^{2}+1},
que é exatamente a integranda. Pronto — a primitiva está correta.

Passo 7

Comentário didático curto e um exemplo adicional para fixar a ideia.
  • A técnica usada é a substituição simples (troca u=g(x) quando aparece g'(x) multiplicando), que é a “inversão” da regra da cadeia.
  • Exemplo rápido: para praticar, note que
\int 5x e^{x^{2}}\,dx = \frac{5}{2}e^{x^{2}}+C,
pois aqui u=x^{2} e du=2x\,dx, então substituição dá um fator \tfrac{5}{2}.

Resposta

e^{x^{2}+1}+C

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