Use as técnicas de integração para calcular as integrais indefinidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A variável de integração é
. - A integranda é o produto de
com a função exponencial . - Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que . - A resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da integranda (motivo do caminho que vamos seguir).
- Repare que dentro da exponencial há a expressão
. - A derivada dessa expressão em relação a
é , exatamente o outro fator presente na integranda.
Isto sugere fazer uma troca de variável que simplifique a integral: substituir a expressão interna por uma nova variável.
Definição da substituição:
Agora calculamos o diferencial
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Aqui:
-
é a nova variável (função de ); -
é seu diferencial, e vemos que aparece exatamente na integral original.
Passo 3
Reescrever a integral em
.
Substituindo e
na integral original obtemos
Substituindo
Explicação: trocamos o bloco
por
dentro do expoente, e o bloco
por
. A integral ficou muito mais simples: integral da exponencial em
.
Passo 4
Calcular a integral em
.
A primitiva da função é ela própria, isto é,
A primitiva da função
porque a derivada de
em relação a
é
. Aqui
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável
(retro-substituição).
Como , substituímos de volta:
Como
Portanto uma primitiva da integranda original é
.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para garantir que está correto).
Diferenciando usando a regra da cadeia:
Diferenciando
que é exatamente a integranda. Pronto — a primitiva está correta.
Passo 7
Comentário didático curto e um exemplo adicional para fixar a ideia.
- A técnica usada é a substituição simples (troca
quando aparece multiplicando), que é a “inversão” da regra da cadeia. - Exemplo rápido: para praticar, note que
pois aqui
e
, então substituição dá um fator
.