Use as técnicas de integração para calcular as integrais indefinidas.
\int \frac{x+3}{x^{2}-x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x+3}{x^{2}-x-2}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x+3}{x^{2}-x-2}.
  • A integral é indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Verificação rápida da forma da função e escolha do método (explicação didática).
  • Primeiro observe o grau (potência) do numerador e do denominador: o numerador x+3 tem grau 1 e o denominador x^{2}-x-2 tem grau 2. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, a fração é própria e é apropriado usar decomposição em frações parciais.
  • A ideia da decomposição em frações parciais é escrever a fração racional como soma de termos simples cuja integração é conhecida (tipicamente termos do tipo \dfrac{1}{x-a} que integram para \ln|x-a|).

Passo 3

Fatorar o denominador e montar a decomposição.
  • Fatore o denominador:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
  • Para decompor, suponha constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{x+3}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.
  • Multiplique ambos os lados por (x-2)(x+1) para obter uma identidade polinomial:
x+3 = A(x+1)+B(x-2).
  • Desenvolva o lado direito:
x+3 = (A+B)x + (A-2B).
  • Como essa igualdade vale para todo x, iguale os coeficientes de x e os termos constantes:
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] A-2B = 3. \end{cases}
  • Resolva o sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(A-2B)-(A+B)=3-1 \quad\Rightarrow\quad -3B=2 \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{2}{3}.
  • Encontre (A]:
    A = 1 - B = 1 - \left(-\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{5}{3}.
  • Portanto a decomposição é
\frac{x+3}{x^{2}-x-2}=\frac{5/3}{x-2}-\frac{2/3}{x+1}.]

Passo 4

Integrar termo a termo e justificar as fórmulas usadas.
  • Usamos que, para qualquer constante a,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x-a|\bigr)=\frac{1}{x-a}.
Isso justifica que a integral de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a| (o valor absoluto aparece porque x-a pode ser negativo).
  • Assim, integrando a decomposição:
\int \frac{x+3}{x^{2}-x-2}\,dx = \int\left(\frac{5/3}{x-2}-\frac{2/3}{x+1}\right)dx.
  • Integre cada parcela:
\int \frac{5/3}{x-2}\,dx = \frac{5}{3}\ln|x-2| + C_1, \qquad \int \frac{2/3}{x+1}\,dx = \frac{2}{3}\ln|x+1| + C_2.
  • Juntando e lembrando o sinal negativo do segundo termo e combinando constantes C_1-C_2 em uma única C, obtemos
\int \frac{x+3}{x^{2}-x-2}\,dx = \frac{5}{3}\ln|x-2| - \frac{2}{3}\ln|x+1| + C.

Passo 5

(Observação opcional de simplificação de forma equivalente)
  • Usando propriedades dos logaritmos pode-se combinar os termos:
\frac{5}{3}\ln|x-2|-\frac{2}{3}\ln|x+1|=\frac{1}{3}\ln\left|\frac{(x-2)^{5}}{(x+1)^{2}}\right|.
Ambas as formas são equivalentes, a escolha é de estilo.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}\ln|x-2|-\frac{2}{3}\ln|x+1|+C

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