Use as técnicas de integração para calcular as integrais indefinidas.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar:
- O integrando é a função racional
. - A integral é indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Verificação rápida da forma da função e escolha do método (explicação didática).
- Primeiro observe o grau (potência) do numerador e do denominador: o numerador
tem grau e o denominador tem grau . Como o grau do numerador é menor que o do denominador, a fração é própria e é apropriado usar decomposição em frações parciais. - A ideia da decomposição em frações parciais é escrever a fração racional como soma de termos simples cuja integração é conhecida (tipicamente termos do tipo
que integram para ).
Passo 3
Fatorar o denominador e montar a decomposição.
- Fatore o denominador:
- Para decompor, suponha constantes
- Multiplique ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
- Desenvolva o lado direito:
- Como essa igualdade vale para todo
, iguale os coeficientes de e os termos constantes:
- Resolva o sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
- Encontre (A]:
- Portanto a decomposição é
Passo 4
Integrar termo a termo e justificar as fórmulas usadas.
- Usamos que, para qualquer constante
,
Isso justifica que a integral de
é
(o valor absoluto aparece porque
pode ser negativo).
- Assim, integrando a decomposição:
- Integre cada parcela:
- Juntando e lembrando o sinal negativo do segundo termo e combinando constantes
em uma única , obtemos
Passo 5
(Observação opcional de simplificação de forma equivalente)
- Usando propriedades dos logaritmos pode-se combinar os termos:
Ambas as formas são equivalentes, a escolha é de estilo.