Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(2 x \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(2 x \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 2 x \sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=2 x \sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Não há outras condições (como ponto inicial), então a constante de integração C aparecerá no resultado.

Passo 2

Para facilitar, converto raízes em potências usando a identidade \sqrt{x}=x^{1/2}. Assim:
2 x \sqrt{x}=2x\cdot x^{1/2}=2x^{1+\tfrac{1}{2}}=2x^{3/2}, \qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.
Portanto a integral fica
\int\left(2 x \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = \int\left(2x^{3/2}-x^{-1/2}\right)\,dx.

Passo 3

Uso a linearidade da integral: \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx e \int a f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx para constante a. Assim:
\int\left(2x^{3/2}-x^{-1/2}\right)\,dx =2\int x^{3/2}\,dx-\int x^{-1/2}\,dx.

Passo 4

Aplico a regra da potência para antiderivadas: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui, na primeira integral temos n=\tfrac{3}{2}. Calculo:
\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}.
Multiplicando pelo 2 que estava na frente:
2\int x^{3/2}\,dx=2\cdot\frac{2}{5}x^{5/2}=\frac{4}{5}x^{5/2}.

Passo 5

Para a segunda integral temos n=-\tfrac{1}{2}. Usando a mesma regra:
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Como havia um sinal negativo na frente, a contribuição é -2x^{1/2}.

Passo 6

Agora somo as antiderivadas obtidas para cada termo e acrescento a constante de integração C.

Resposta

\dfrac{4}{5}x^{5/2}-2x^{1/2}+C

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