Calcule as integrais indefinidas:
k) integral cossec^2 x1+cotg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral csc^2 x1+cot x,dx. Esse é um caso de função trigonométrica que fica bem simples com substituição, usando a relação entre cot x e sua derivada.

Passo 2

A gente lembra que a derivada de cot x é ddx(cot x) = -csc^2 x. Isso indica a substituição adequada:
Vamos fazer u = cot x. Então
du = -csc^2 x,dx Longrightarrow csc^2 x,dx = -du

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral csc^2 x1+cot x,dx = integral -du1+u = -integral du1+u

Passo 4

Agora integramos em termos de u: a primitiva de 1/(1+u) é ln|1+u|. Logo:
-integral du1+u = -ln|1+u| + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u=cot x:
-ln|1+cot x| + C

Resposta

-\ln\lvert1+\cot x\rvert + C

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