Nos Exercícios de 29 a 32, considere y como a variável independente e ache
.
Passo 1
Nesta questão temos a equação implícita
, onde queremos encontrar
. O conteúdo envolve derivação implícita, usando regra da cadeia e produto, considerando
como variável independente.
Passo 2
Diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a
. No lado esquerdo, para
aplicamos regra da cadeia e obtemos
, e para
obtemos
. No lado direito, temos produto
, cuja derivada é dada por
. Assim:
[ 4x^{3},\frac{dx}{dy} + 4y^{3} = 12\bigl(2x y,\frac{dx}{dy} + x^{2}\bigr) ]
[ 4x^{3},\frac{dx}{dy} + 4y^{3} = 12\bigl(2x y,\frac{dx}{dy} + x^{2}\bigr) ]
Passo 3
Distribuímos o lado direito e agrupamos os termos que envolvem
de um lado e os demais do outro. Isso dá:
[ 4x^{3},\frac{dx}{dy} + 4y^{3} = 24x y,\frac{dx}{dy} + 12x^{2} ]
[ 4x^{3},\frac{dx}{dy} + 4y^{3} = 24x y,\frac{dx}{dy} + 12x^{2} ]
Passo 4
Subtraímos
e
dos dois lados para isolar
:
[ (4x^{3} - 24x y),\frac{dx}{dy} = 12x^{2} - 4y^{3} ]
[ (4x^{3} - 24x y),\frac{dx}{dy} = 12x^{2} - 4y^{3} ]
Passo 5
Finalmente, dividimos ambos os lados por
e fatoramos 4 para simplificar:
[ \frac{dx}{dy} = \frac{12x^{2} - 4y{3}}{4x{3} - 24xy} = \frac{3x^{2} - y{3}}{x{3} - 6xy} ]
[ \frac{dx}{dy} = \frac{12x^{2} - 4y{3}}{4x{3} - 24xy} = \frac{3x^{2} - y{3}}{x{3} - 6xy} ]