Nos Exercícios de 29 a 32, considere y como a variável independente e ache d xd y.
x^4+y^4=12 x^2 y

Passo 1

Nesta questão temos a equação implícita x^4+y^4=12x^2y, onde queremos encontrar dfracdxdy. O conteúdo envolve derivação implícita, usando regra da cadeia e produto, considerando y como variável independente.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a y. No lado esquerdo, para x^4 aplicamos regra da cadeia e obtemos 4x^3,dxdy, e para y^4 obtemos 4y^3. No lado direito, temos produto 12x^2cdot y, cuja derivada é dada por 12l(2x,dxdycdot y + x^2cdot1r). Assim:
[ 4x^{3},\frac{dx}{dy} + 4y^{3} = 12\bigl(2x y,\frac{dx}{dy} + x^{2}\bigr) ]

Passo 3

Distribuímos o lado direito e agrupamos os termos que envolvem dfracdxdy de um lado e os demais do outro. Isso dá:
[ 4x^{3},\frac{dx}{dy} + 4y^{3} = 24x y,\frac{dx}{dy} + 12x^{2} ]

Passo 4

Subtraímos 24x y,dfracdxdy e 4y^3 dos dois lados para isolar dfracdxdy:
[ (4x^{3} - 24x y),\frac{dx}{dy} = 12x^{2} - 4y^{3} ]

Passo 5

Finalmente, dividimos ambos os lados por (4x^3-24xy) e fatoramos 4 para simplificar:
[ \frac{dx}{dy} = \frac{12x^{2} - 4y{3}}{4x{3} - 24xy} = \frac{3x^{2} - y{3}}{x{3} - 6xy} ]

Resposta

dxdy = 3x^2 - y^3x^3 - 6xy

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