Calcule as integrais indefinidas:
k) integral 4 x-2x^3-x^2-4 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral indefinida de uma função racional integral 4x-2x^3 - x^2 -4,dx. O conteúdo é fração parcial, e vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações mais simples para integrar.

Passo 2

Fatoração do denominador: observamos que x=2 é raiz de x^3 - x^2 -4, pois 2^3-2^2-4=0. Logo,
x^3 - x^2 -4 = (x-2)(x^2 + x +2)

Passo 3

Configuração da decomposição em frações parciais:
4x-2(x-2)(x^2+x+2) = Ax-2 + Bx + Cx^2+x+2

Passo 4

Igualando numeradores e resolvendo o sistema de coeficientes, chegamos a
$$A=\tfrac{3}{4},\quad B=-\tfrac{3}{4},\quad C=\tfrac{7}{4}.
$$

Passo 5

Separamos a integral conforme a decomposição:
integral 4x-2x^3-x^2-4,dx = 34integral dxx-2 - 34integral x,dxx^2+x+2 + 74integral dxx^2+x+2

Passo 6

Integramos cada parte:
  1. 34integral dxx-2 = 34ln|x-2|
  2. Para integral x,dxx^2+x+2, escrevemos
x = 12(2x+1) - 12,
deu
integral x,dxx^2+x+2 = 12ln(x^2+x+2) - 1raiz7arctanl(2x+1raiz7r)
  1. Para integral dxx^2+x+2, completamos quadrado x^2+x+2=(x+tfrac12)^2+tfrac74 e obtemos
integral dxx^2+x+2 = 2raiz7arctanl(2x+1raiz7r)

Passo 7

Juntando tudo e simplificando o coeficiente de arctan, chegamos ao resultado final.

Resposta

integral 4x-2x^3 - x^2 -4,dx = 34ln|x-2| - 38lnl(x^2+x+2r) + 174raiz7arctanl(2x+1raiz7r) + C

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