Calcule as integrais indefinidas:
u) integral 12+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 12+x^2,dx. O conteúdo aqui é integral de função da forma 1/(x^2+a^2), cuja primitiva geral é 1aarctanl(xar)+C. Para resolver, vamos usar uma substituição que transforme 2+x^2 em algo no formato 1+t^2.

Passo 2

Vamos fazer a troca de variável
x=raiz2,t,
então
dx=raiz2,dt
Substituindo na integral original, fica
integral dxx^2+2 =integral raiz2,dt(raiz2,t)^2+2 =integral raiz2,dt2t^2+2 =raiz22integral dt1+t^2

Passo 3

Agora usamos que
integral dt1+t^2=arctan(t)+C
Logo a primitiva fica
raiz22arctan(t)+C =1raiz2arctanl(xraiz2r)+C

Resposta

integral dx2+x^2 = 1raiz2arctanl(xraiz2r)+C.

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