Determinar a solução geral das seguintes EDOs aplicando o método de Equações do tipo Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime+2 x y^prime+y=0

Passo 1

Temos a EDO x^2y'' + 2xy' + y = 0. É uma equação de Cauchy-Euler, e para resolvê-la vamos usar a suposição de solução da forma y = x^m.

Passo 2

Calculamos as derivadas necessárias: y = x^m implica y' = m x^m-1 e y'' = m(m-1)x^m-2.

Passo 3

Substituímos essas expressões na EDO:
x^2l(m(m-1)x^m-2r) + 2xl(m x^m-1r) + x^m = 0
Simplificando, todos os termos têm x^m em fator:
m(m-1)x^m + 2m x^m + x^m = 0

Passo 4

Colocando em evidência x^m (que não é zero para x>0):
x^ml(m(m-1) + 2m + 1r) = 0 ,Longrightarrow, m^2 + m + 1 = 0
Essa é a equação característica.

Passo 5

Resolvendo m^2 + m + 1 = 0 pelo discriminante:
m = -1 pm raiz1 - 42 = -tfrac12 pm tfraciraiz32

Passo 6

Como as raízes são alpha pm ibeta com alpha = -tfrac12 e beta = tfracraiz32, a solução geral fica
y = x^alphal(C1cos(betaln x) + C2sin(betaln x)r)

Resposta

y = x^-1/2l(C1cosl(tfracraiz32ln xr) + C2sinl(tfracraiz32ln xr)r)

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