Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivação, se a resposta encontrada está correta (somente do item
) até o item
):
n)
n)
Passo 1
Nesse exercício vamos calcular a integral
. O conteúdo principal é integração por partes aplicada em funções exponencial e trigonométrica, e vamos precisar aplicar o método duas vezes e depois resolver um sistema para isolar a integral. A teoria usada é a fórmula
.
Passo 2
Definimos
. Para aplicar integração por partes escolhemos:
u =
e dv =
. Assim temos:
Pela fórmula de partes:
$$\nI = u,v - \int v,du
$$
resulta em
e definimos
.
Passo 3
Agora aplicamos integração por partes em
. Definimos:
u =
e dv =
. Então:
Pela fórmula de partes:
ficando
ou seja
Passo 4
Substituímos a expressão de
em
. Tínhamos
Logo:
Distribuindo e reorganizando:
Fatorando
no lado esquerdo:
e isolando
:
Passo 5
Para verificar, derivamos o resultado encontrado
e usando a regra do produto e a derivada de
vemos que o resultado é exatamente
. Isso confirma que a primitiva está correta.