Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivação, se a resposta encontrada está correta (somente do item a ) até o item f ):
n) integral 3^x cos x d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral integral 3^x cos x,dx. O conteúdo principal é integração por partes aplicada em funções exponencial e trigonométrica, e vamos precisar aplicar o método duas vezes e depois resolver um sistema para isolar a integral. A teoria usada é a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Definimos I = integral 3^x cos x,dx. Para aplicar integração por partes escolhemos:
u = cos x e dv = 3^x,dx. Assim temos:
du = -sin x,dx e
v = integral 3^x,dx = 3^xln 3.
Pela fórmula de partes:
$$\nI = u,v - \int v,du
$$
resulta em
nI = u,v - integral v,du
e definimos I = 3^x cos xln 3 + 1ln 3integral 3^x sin x,dx .

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em J. Definimos:
u = sin x e dv = 3^x,dx. Então:
du = cos x,dx e
v = 3^xln 3.
Pela fórmula de partes:
J = u,v - integral v,du
ficando
J = 3^x sin xln 3 - 1ln 3integral 3^x cos x,dx
ou seja
J = 3^x sin xln 3 - 1ln 3I

Passo 4

Substituímos a expressão de J em I. Tínhamos
I = 3^x cos xln 3 + 1ln 3J
Logo:
I = 3^x cos xln 3 + 1ln 3l(3^x sin xln 3 - 1ln 3Ir)
Distribuindo e reorganizando:
I + 1(ln 3)^2I = 3^x cos xln 3 + 3^x sin x(ln 3)^2
Fatorando I no lado esquerdo:
Il(1 + 1(ln 3)^2r) = 3^x(ln 3cos x + sin x)(ln 3)^2
e isolando I:
I = 3^xl(ln 3cos x + sin xr)(ln 3)^2 + 1

Passo 5

Para verificar, derivamos o resultado encontrado
I = 3^x(ln 3cos x + sin x)(ln 3)^2 + 1
e usando a regra do produto e a derivada de 3^x vemos que o resultado é exatamente 3^xcos x. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

integral 3^x cos x,dx = 3^xl(ln 3cos x + sin xr)(ln 3)^2 + 1 + C

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