Calcule as integrais indefinidas:
m) integral 1x(1+ln ^2 x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1xl(1+ln^2(x^2)r),dx. O conteúdo principal é reconhecimento de uma derivada de arctan via substituição de variável.

Passo 2

Observamos que a função ln(x^2) aparece ao quadrado no denominador. Fazemos a substituição
t = ln(x^2)
Calculamos a diferencial de t:
dt = dl(ln(x^2)r) = 2dxx Longrightarrow dxx = dt2

Passo 3

Substituindo na integral original temos
integral 1xl(1+ln^2(x^2)r),dx = integral 11+t^2cdot dt2 = 12integral 11+t^2,dt
E sabemos que
integral 11+t^2,dt = arctan t + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x, lembrando que t = ln(x^2). Assim o resultado é
12arctanl(ln(x^2)r) + C

Resposta

12arctanl(ln(x^2)r) + C

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