Determinar a solução geral das seguintes EDOs aplicando o método de Equações do tipo Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO x^2y''-4y=0, que é uma equação de Cauchy–Euler. Para resolver, vamos usar a técnica que assume uma solução do tipo y=x^m, montando e resolvendo a equação característica.

Passo 2

Assumimos y(x)=x^m. Assim, derivando temos: y'=m x^m-1 e y''=m(m-1)x^m-2.

Passo 3

Substituindo na EDO:

Passo 4

Simplificando:
(m(m-1)-4)x^m=0

Passo 5

Como x^mneq0 para x>0, formamos a equação característica:
m(m-1)-4=0

Passo 6

Ou seja,
m^2-m-4=0

Passo 7

Resolvendo-a pelo fórmula de Bhaskara:
m=1pmraiz1+162=1pmraiz172

Passo 8

Temos duas raízes reais distintas m1=tfrac1+raiz172 e m2=tfrac1-raiz172.

Passo 9

Para raízes distintas, a solução geral é:
y(x)=C1x^m1+C2x^m2

Resposta

y(x)=C1x^1+raiz172+C2x^1-raiz172

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