Encontre f(x), sabendo que f^prime prime(x)=3^x+cos 2 x, f^prime(0)=1ln 3 e f(0)=-14.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(x) sabendo que f''(x)=3^x+cos2x, com condições iniciais f'(0)=tfrac1ln3 e f(0)=-tfrac14. O conteúdo é cálculo de integrais de funções exponencial e trigonométricas, e vamos precisar integrar duas vezes.

Passo 2

Integramos f''(x) para obter f'(x). Para isso, lembramos que integral3^x,dx=tfrac3^xln3 e integralcos2x,dx=tfrac12sin2x. Assim,
f'(x)=integrall(3^x+cos2xr)dx=3^xln3+12sin2x+C1

Passo 3

Usamos a condição f'(0)=tfrac1ln3. Substituindo x=0 em f'(x)
f'(0)=3^0ln3+12sin0+C1=1ln3+0+C1=1ln3 Logo C1=0 e portanto
f'(x)=3^xln3+12sin2x

Passo 4

Agora integramos f'(x) para obter f(x). Sabendo que integral3^x dx=tfrac3^xln3 e integralsin2x dx=-tfrac12cos2x, temos
f(x)=integral f'(x)dx=integral3^xln3dx+12integralsin2x dx=3^x(ln3)^2-14cos2x+C2

Passo 5

Usamos f(0)=-tfrac14. Substituindo x=0 em f(x) obtém-se
f(0)=3^0(ln3)^2-14cos0+C2=1(ln3)^2-14+C2=-14 Isso leva a C2=-tfrac1(ln3)^2. Portanto a solução é
f(x)=3^x(ln3)^2-14cos2x-1(ln3)^2

Resposta

f(x)=dfrac3^x(ln3)^2-dfrac14cos2x-dfrac1(ln3)^2

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