Considere a função
:
c) Encontre uma expressão para a inversa de f.
c) Encontre uma expressão para a inversa de f.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \ln(x + 3) $. O objetivo é encontrar a função inversa de $ f $, ou seja, uma função que, quando aplicada depois de $ f $, nos devolva o valor original de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como calcular usando propriedades dos logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a inversa de uma função, trocamos $ f(x) $ por $ y $ e então resolvemos a equação para $ x $ em termos de $ y $. Então, começamos com:
Passo 3
Nosso próximo passo é resolver essa equação para $ x $. Para isso, precisamos se livrar do logaritmo. Sabemos que se $ y = \ln(a) $, então $ a = e^y $, onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais aproximadamente igual a 2,71828.
Aplicando isso à nossa equação:
Passo 4
Agora, isolamos $ x $ na equação:
Subtraímos 3 de ambos os lados:
Passo 5
Agora, expressamos $ x $ em termos de $ y $:
Passo 6
Finalmente, para termos a função inversa, trocamos $ y $ por $ f^{-1}(x) $:
Resposta
A função inversa de $ f(x) = \ln(x + 3) $ é: