Considere a função f(x)=ln (x+3) :
c) Encontre uma expressão para a inversa de f.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \ln(x + 3) $. O objetivo é encontrar a função inversa de $ f $, ou seja, uma função que, quando aplicada depois de $ f $, nos devolva o valor original de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como calcular usando propriedades dos logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a inversa de uma função, trocamos $ f(x) $ por $ y $ e então resolvemos a equação para $ x $ em termos de $ y $. Então, começamos com:
f(x)

Passo 3

Nosso próximo passo é resolver essa equação para $ x $. Para isso, precisamos se livrar do logaritmo. Sabemos que se $ y = \ln(a) $, então $ a = e^y $, onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais aproximadamente igual a 2,71828.
Aplicando isso à nossa equação:
x

Passo 4

Agora, isolamos $ x $ na equação:
x
Subtraímos 3 de ambos os lados:
e^y = x + 3

Passo 5

Agora, expressamos $ x $ em termos de $ y $:
x

Passo 6

Finalmente, para termos a função inversa, trocamos $ y $ por $ f^{-1}(x) $:
y

Resposta

A função inversa de $ f(x) = \ln(x + 3) $ é:
f(x) = ln(x + 3)

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