Calcule as integrais indefinidas seguintes
\int\left(x^{2}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da soma de três termos: \displaystyle \int\bigl(x^{2}+\sqrt{x}+\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)\,dx.
O conteúdo de matéria envolvido é a linearidade da integral (podemos integrar termo a termo) e a regra de potência, que diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada termo como potência de x: \sqrt{x} = x^{\tfrac12} e \tfrac{1}{x^{3}} = x^{-3}.
Assim a integral vira
\int\bigl(x^{2} + x^{\tfrac12} + x^{-3}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo:
  1. Para x^{2}, temos n=2, logo
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
  1. Para x^{\tfrac12}, temos n=\tfrac12, logo
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac12+1}}{\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.
  1. Para x^{-3}, temos n=-3, logo
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}\,x^{-2} = -\frac{1}{2\,x^{2}}.

Passo 4

Pela linearidade, somamos os três resultados e adicionamos a constante de integração C.

Resposta

\int\bigl(x^{2}+\sqrt{x}+\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} - \frac{1}{2\,x^{2}} + C.

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