Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int \frac{d x}{\sqrt{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.
  • É uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.
  • Para a raiz quadrada real no denominador, normalmente consideramos x>-1 (intervalo onde \sqrt{x+1} é positivo).

Passo 2

Reescrever o integrando numa forma que facilite aplicar uma regra conhecida. A raiz no denominador pode ser escrita como potência:
\frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{-1/2}.
Aqui a expressão está na forma (\text{algo})^{n} com n=-\tfrac{1}{2}. Uma regra básica de integração que vamos usar é a “regra da potência invertida”.

Passo 3

Apresentar a regra da potência para integrais (aula rápida):
  • Regra: para um expoente n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
  • Explicando as letras: u é uma função qualquer da variável de integração (aqui u será x+1), n é o expoente, du é o diferencial de u, e C é a constante de integração.
    No nosso caso, podemos escolher u=x+1. Como du=dx (pois a derivada de x+1 em relação a x é 1), não aparece nenhum fator extra — isso simplifica bastante.

Passo 4

Aplicar a substituição u=x+1 de forma explícita:
u = x+1,\qquad du = dx.
A integral passa a ser
\int u^{-1/2}\,du.
Agora aplicamos a regra da potência com n=-\tfrac{1}{2}:
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\,u^{1/2} + C.
Voltando à variável original x:
2\,u^{1/2} + C = 2\sqrt{u}+C = 2\sqrt{x+1}+C.

Passo 5

Verificação rápida (checar para não errar na prova): derivar o resultado para ver se volta ao integrando.
\frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{x+1}\bigr) = 2\cdot\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(x+1) = (x+1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x+1}}.
Como a derivada confere, a primitiva está correta.

Passo 6

Comentário adicional útil para a prova (fórmula generalizada):
  • Se tiver \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{ax+b}} com a\neq 0, faz-se u=ax+b, du=a\,dx e obtém-se
\int \frac{dx}{\sqrt{ax+b}} = \frac{2}{a}\sqrt{ax+b}+C.
Isso vale como “fórmula pronta” para casos semelhantes (útil para economizar tempo na prova).

Resposta

2\sqrt{x+1}+C

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