Calcule as integrais indefinidas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a integrar é
. - É uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
. - Para a raiz quadrada real no denominador, normalmente consideramos
(intervalo onde é positivo).
Passo 2
Reescrever o integrando numa forma que facilite aplicar uma regra conhecida. A raiz no denominador pode ser escrita como potência:
Aqui a expressão está na forma
com
. Uma regra básica de integração que vamos usar é a “regra da potência invertida”.
Passo 3
Apresentar a regra da potência para integrais (aula rápida):
- Regra: para um expoente
,
- Explicando as letras:
é uma função qualquer da variável de integração (aqui será ), é o expoente, é o diferencial de , e é a constante de integração.
No nosso caso, podemos escolher. Como (pois a derivada de em relação a é ), não aparece nenhum fator extra — isso simplifica bastante.
Passo 4
Aplicar a substituição
de forma explícita:
A integral passa a ser
Agora aplicamos a regra da potência com
:
Voltando à variável original
:
Passo 5
Verificação rápida (checar para não errar na prova): derivar o resultado para ver se volta ao integrando.
Como a derivada confere, a primitiva está correta.
Passo 6
Comentário adicional útil para a prova (fórmula generalizada):
- Se tiver
com , faz-se , e obtém-se
Isso vale como “fórmula pronta” para casos semelhantes (útil para economizar tempo na prova).