Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int \frac{x}{\sqrt{2 x+3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{2x+3}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x}{\sqrt{2x+3}}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2x+3}}.
    O objetivo aqui é encontrar uma antiderivada e apresentar a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: fazer uma substituição razoável para eliminar a raiz quadrada que tem uma expressão linear dentro. Quando aparece \sqrt{ax+b} é comum usar a substituição
u = 2x+3,
porque assim a raiz vira \sqrt{u} e a integração fica mais simples. Não se preocupe, vou mostrar tudo passo a passo.

Passo 3

Aplicando a substituição \;u = 2x+3\;:
\text{então } x=\frac{u-3}{2} \quad\text{e}\quad dx=\frac{du}{2}.ã
Agora substituímos na integral original:
\int \frac{x}{\sqrt{2x+3}}\,dx = \int \frac{\frac{u-3}{2}}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2}.

Passo 4

Simplificando a expressão em u:
\int \frac{\frac{u-3}{2}}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{4}\int \frac{u-3}{\sqrt{u}}\,du.
Escrevendo as potências:
\frac{u-3}{\sqrt{u}} = \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{3}{\sqrt{u}} = u^{1/2} - 3u^{-1/2}.
Logo
\int \frac{x}{\sqrt{2x+3}}\,dx = \frac{1}{4}\int \bigl(u^{1/2} - 3u^{-1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Agora integramos termo a termo usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}, \qquad \int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Portanto
\frac{1}{4}\int \bigl(u^{1/2} - 3u^{-1/2}\bigr)\,du = \frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}u^{3/2} - 3\cdot 2u^{1/2}\right) + C.
Calculando os coeficientes:
= \frac{1}{6}u^{3/2} - \frac{3}{2}u^{1/2} + C.

Passo 6

Voltando para x com u=2x+3:
\int \frac{x}{\sqrt{2x+3}}\,dx = \frac{1}{6}(2x+3)^{3/2} - \frac{3}{2}(2x+3)^{1/2} + C.
Podemos simplificar fatorando (2x+3)^{1/2}:
\frac{1}{6}(2x+3)^{3/2} - \frac{3}{2}(2x+3)^{1/2} = (2x+3)^{1/2}\!\left(\frac{1}{6}(2x+3) - \frac{3}{2}\right).
Fazendo as contas dentro do parêntese:
\frac{1}{6}(2x+3) - \frac{3}{2} = \frac{2x+3-9}{6} = \frac{2x-6}{6} = \frac{x-3}{3}.
Assim uma forma mais compacta é
\int \frac{x}{\sqrt{2x+3}}\,dx = \frac{x-3}{3}\sqrt{2x+3} + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando \dfrac{x-3}{3}\sqrt{2x+3} usando regra do produto e cadeia obtém-se de volta \dfrac{x}{\sqrt{2x+3}}. Isso confirma que a primitiva está correta — é uma boa prática checar sempre que puder.

Resposta

\displaystyle \frac{x-3}{3}\sqrt{2x+3}+C

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