Calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \operatorname{sen}^{2}(\theta) \cos ^{2}(\theta) d \theta.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)\,d\theta.
Informações dadas: a função integranda é o produto de potências das funções trigonométricas \operatorname{sen}(\theta) e \cos(\theta). Queremos uma primitiva qualquer (com constante de integração).

Passo 2

Observação útil (identidade trigonométrica): lembramos que
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Se eu elevar essa identidade ao quadrado obtenho
\sin^{2}(2\theta)=4\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta.
Portanto podemos reescrever a integranda em termos de \sin^{2}(2\theta). Isolando \sin^{2}\theta\cos^{2}\theta temos
\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta=\frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta).

Passo 3

Agora uso a identidade de redução de potência (que vem de \cos(2x)=1-2\sin^{2}x):
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Aplicando com x=2\theta
\sin^{2}(2\theta)=\frac{1-\cos(4\theta)}{2}.
Substituindo na expressão do Passo 2:
\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos(4\theta)}{2}=\frac{1}{8}\bigl(1-\cos(4\theta)\bigr).

Passo 4

Agora a integral fica simples, integrando termo a termo:
\int \sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta=\int \frac{1}{8}\bigl(1-\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta.
Separando:
\int \frac{1}{8}\,d\theta - \int \frac{1}{8}\cos(4\theta)\,d\theta.
A primeira parte é direta:
\int \frac{1}{8}\,d\theta=\frac{1}{8}\theta.
Para a segunda parte usamos a fórmula \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx). Assim
\int \cos(4\theta)\,d\theta=\frac{1}{4}\sin(4\theta),
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\int \frac{1}{8}\cos(4\theta)\,d\theta=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin(4\theta)=\frac{1}{32}\sin(4\theta).

Passo 5

Juntando as duas partes e lembrando da constante de integração C, obtemos a primitiva:
\frac{1}{8}\theta-\frac{1}{32}\sin(4\theta)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}\theta-\frac{1}{32}\sin(4\theta)+C

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