Calcule as integrais indefinidas a seguir:
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é o produto de potências das funções trigonométricas
e
. Queremos uma primitiva qualquer (com constante de integração).
Passo 2
Observação útil (identidade trigonométrica): lembramos que
Se eu elevar essa identidade ao quadrado obtenho
Portanto podemos reescrever a integranda em termos de
. Isolando
temos
Passo 3
Agora uso a identidade de redução de potência (que vem de
):
Aplicando com
dá
Substituindo na expressão do Passo 2:
Passo 4
Agora a integral fica simples, integrando termo a termo:
Separando:
A primeira parte é direta:
Para a segunda parte usamos a fórmula
. Assim
logo
Passo 5
Juntando as duas partes e lembrando da constante de integração
, obtemos a primitiva: