Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-\operatorname{tg}(x)-1}{\cos (3 x)-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\operatorname{tg}(x)-1}{\cos(3x)-1}
e também identificar o tipo de indeterminação, se houver.
Informações dadas: a expressão envolve as funções e^{x}, \operatorname{tg}(x) (tan), e \cos(3x). O ponto de interesse é x\to 0.

Passo 2

Vamos verificar os valores do numerador e do denominador quando x\to 0 para descobrir o tipo de indeterminação. Calculemos separadamente:
e^{0}-\operatorname{tg}(0)-1 = 1-0-1=0,
\cos(3\cdot 0)-1 = 1-1=0.
Portanto a forma é \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas observando os valores diretos; precisamos manipular a expressão (por exemplo, desenvolvendo séries ou usando L’Hôpital) para encontrar o limite.

Passo 3

Escolhemos usar séries de Taylor (Maclaurin) ao redor de 0 porque aqui as funções são suaves em 0 e as expansões dão diretamente os termos dominantes em potências de x, permitindo cancelar fatores comuns e calcular o limite de forma clara. Vou explicar as séries que vamos usar e o porquê delas.
Séries úteis próximas de 0:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+O(x^{4}),
\sin x = x-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{5}),
\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
Aqui O(x^{n}) significa “termos de ordem x^{n} ou superiores” — serve para indicar que estamos conservando apenas os termos até certa potência, o que é suficiente para obter o limite.

Passo 4

Precisamos também da expansão de \operatorname{tg}(x)=\tan x. Podemos obtê-la a partir de \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Usando as séries de \sin x e \cos x:
\sin x = x-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{5}),\qquad \cos x = 1-\frac{x^{2}}{2}+O(x^{4}).
Fazendo a divisão em séries (multiplicando \sin x por a série inversa de \cos x, que é 1+\frac{x^{2}}{2}+O(x^{4})), obtemos
\tan x = x+\frac{x^{3}}{3}+O(x^{5}).
Expliquei: multiplicamos x-\frac{x^{3}}{6} +\ldots por 1+\frac{x^{2}}{2}+\ldots. O termo em x fica x. O termo em x^{3} vem de -\tfrac{x^{3}}{6}\cdot 1 + x\cdot \tfrac{x^{2}}{2} = -\tfrac{1}{6}x^{3} + \tfrac{1}{2}x^{3} = \tfrac{1}{3}x^{3}.
Também precisamos de \cos(3x). Usando a expansão de \cos com 3x:
\cos(3x)=1-\frac{(3x)^{2}}{2}+O(x^{4})=1-\frac{9x^{2}}{2}+O(x^{4}).

Passo 5

Agora substituímos as expansões na expressão do limite.
Numerador:
e^{x}-\tan x -1 = \Big(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+O(x^{4})\Big) -\Big(x+\frac{x^{3}}{3}+O(x^{5})\Big)-1.
Cancelam 1 e x. Ficamos com
e^{x}-\tan x -1 = \frac{x^{2}}{2}+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\right)x^{3}+O(x^{4}) = \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{4}).
Denominador:
\cos(3x)-1 = -\frac{9x^{2}}{2}+O(x^{4}).
Agora colocamos a razão:
\frac{e^{x}-\tan x -1}{\cos(3x)-1} = \frac{\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{4})}{\displaystyle -\frac{9x^{2}}{2}+O(x^{4})}.
Fatorando x^{2} do numerador e do denominador e cancelando:
= \frac{\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{x}{6}+O(x^{2})}{\displaystyle -\frac{9}{2}+O(x^{2})}.
Fazendo x\to 0 nesse quociente, os termos O(x) e O(x^{2}) desaparecem, ficando
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\tan x -1}{\cos(3x)-1} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{9}{2}} = -\frac{1}{9}.

Passo 6

Como alternativa (só para você ver outra técnica que dá o mesmo resultado), poderíamos usar a regra de L’Hôpital. Como a forma é 0/0, derivamos numerador e denominador:
1ª derivada:
\text{num}'(x)=e^{x}-\operatorname{sec}^{2}x,\qquad \text{den}'(x)=-3\sin(3x).
Em x=0 isso ainda dá 0/0, então aplicamos L’Hôpital de novo.
2ª derivada:
\text{num}''(x)=e^{x}-2\operatorname{sec}^{2}x\tan x,\qquad \text{den}''(x)=-9\cos(3x).
Avaliando em x=0:
\text{num}''(0)=1-2\cdot 1\cdot 0 = 1,\qquad \text{den}''(0)=-9\cdot 1 = -9,
logo o limite é 1/(-9)=-\tfrac{1}{9}, o mesmo resultado obtido pelas séries.

Resposta

Indeterminação: \tfrac{0}{0}. \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\operatorname{tg}(x)-1}{\cos(3x)-1}=-\frac{1}{9}

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