Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
e também identificar o tipo de indeterminação, se houver.
Informações dadas: a expressão envolve as funções ,
(tan), e
. O ponto de interesse é
.
Informações dadas: a expressão envolve as funções
Passo 2
Vamos verificar os valores do numerador e do denominador quando
para descobrir o tipo de indeterminação. Calculemos separadamente:
Portanto a forma é
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas observando os valores diretos; precisamos manipular a expressão (por exemplo, desenvolvendo séries ou usando L’Hôpital) para encontrar o limite.
Passo 3
Escolhemos usar séries de Taylor (Maclaurin) ao redor de
porque aqui as funções são suaves em
e as expansões dão diretamente os termos dominantes em potências de
, permitindo cancelar fatores comuns e calcular o limite de forma clara. Vou explicar as séries que vamos usar e o porquê delas.
Séries úteis próximas de
:
Aqui
significa “termos de ordem
ou superiores” — serve para indicar que estamos conservando apenas os termos até certa potência, o que é suficiente para obter o limite.
Passo 4
Precisamos também da expansão de
. Podemos obtê-la a partir de
. Usando as séries de
e
:
Fazendo a divisão em séries (multiplicando
por a série inversa de
, que é
), obtemos
Expliquei: multiplicamos
por
. O termo em
fica
. O termo em
vem de
.
Também precisamos de
. Usando a expansão de
com
:
Passo 5
Agora substituímos as expansões na expressão do limite.
Numerador:
Cancelam
e
. Ficamos com
Denominador:
Agora colocamos a razão:
Fatorando
do numerador e do denominador e cancelando:
Fazendo
nesse quociente, os termos
e
desaparecem, ficando
Passo 6
Como alternativa (só para você ver outra técnica que dá o mesmo resultado), poderíamos usar a regra de L’Hôpital. Como a forma é
, derivamos numerador e denominador:
1ª derivada:
Em
isso ainda dá
, então aplicamos L’Hôpital de novo.
2ª derivada:
Avaliando em
:
logo o limite é
, o mesmo resultado obtido pelas séries.
Resposta
Indeterminação:
.