Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int[\operatorname{sen}(2 \theta)+\cos (2 \theta)]^{3} d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int[\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{3}\,d\theta.
Informações dadas: a função a integrar é o cubo da soma de \operatorname{sen}(2\theta) e \cos(2\theta). Não há condições adicionais. Nosso objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(\theta) tal que F'(\theta)=[\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{3}.

Passo 2

Escolha do método (e por que): em vez de expandir diretamente o cubo termo a termo, é mais eficiente usar a identidade
(\operatorname{sen}x+\cos x)^2 = \operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x + 2\operatorname{sen}x\cos x = 1 + \sin(2x),
mas aqui com x=2\theta a identidade útil é 2\operatorname{sen}(2\theta)\cos(2\theta)=\sin(4\theta). Assim
[\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{3} = [\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]\cdot[\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{2}.
Usando \operatorname{sen}^2(2\theta)+\cos^2(2\theta)=1 e 2\operatorname{sen}(2\theta)\cos(2\theta)=\sin(4\theta), obtemos
[\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{2}=1+\sin(4\theta),
portanto
[\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{3} = [\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]\bigl(1+\sin(4\theta)\bigr).

Passo 3

Separando a integral em duas partes:
\int[\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{3}\,d\theta = \int\bigl(\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta + \int\bigl(\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)\bigr)\sin(4\theta)\,d\theta.
A primeira integral é direta. A segunda tem produtos do tipo \operatorname{sen}(2\theta)\sin(4\theta) e \cos(2\theta)\sin(4\theta); para elas vamos usar fórmulas produto-para-soma:
\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr),
\cos A\operatorname{sen}B=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(A+B)-\operatorname{sen}(A-B)\bigr).
Aplicando com A=2\theta e B=4\theta:
\operatorname{sen}(2\theta)\sin(4\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2\theta)-\cos(6\theta)\bigr),
\cos(2\theta)\sin(4\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(6\theta)-\sin(2\theta)\bigr).
Somando essas duas expressões (pois aparecem juntas no integrando da segunda parte):
\begin{aligned} \operatorname{sen}(2\theta)\sin(4\theta)+\cos(2\theta)\sin(4\theta) &=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2\theta)-\cos(6\theta)+\sin(6\theta)-\sin(2\theta)\bigr). \end{aligned}
Agora juntamos isso com a primeira parte \operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta). Fazendo a soma termo a termo:
\begin{aligned} [\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{3} &= \operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta) \\\ &\quad +\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2\theta)-\cos(6\theta)+\sin(6\theta)-\sin(2\theta)\bigr). \end{aligned}
Agrupando \operatorname{sen}(2\theta) e \cos(2\theta):
\begin{aligned} \operatorname{sen}(2\theta) + \tfrac{1}{2}(-\sin(2\theta)) &= \tfrac{1}{2}\sin(2\theta),\\\ \cos(2\theta) + \tfrac{1}{2}\cos(2\theta) &= \tfrac{3}{2}\cos(2\theta). \end{aligned}
Portanto a decomposição final do integrando é
[\operatorname{sen}(2\theta)+\cos(2\theta)]^{3} = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)+\tfrac{3}{2}\cos(2\theta)-\tfrac{1}{2}\cos(6\theta)+\tfrac{1}{2}\sin(6\theta).

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembrando as integrais básicas:
\int \sin(k\theta)\,d\theta = -\frac{1}{k}\cos(k\theta)+C,\qquad \int \cos(k\theta)\,d\theta = \frac{1}{k}\sin(k\theta)+C.
Aplicando a cada termo:
  • Para \tfrac{1}{2}\sin(2\theta):
\int \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\right) = -\tfrac{1}{4}\cos(2\theta).
  • Para \tfrac{3}{2}\cos(2\theta):
\int \tfrac{3}{2}\cos(2\theta)\,d\theta = \tfrac{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right) = \tfrac{3}{4}\sin(2\theta).
  • Para -\tfrac{1}{2}\cos(6\theta):
\int -\tfrac{1}{2}\cos(6\theta)\,d\theta = -\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{6}\sin(6\theta)\right) = -\tfrac{1}{12}\sin(6\theta).
  • Para \tfrac{1}{2}\sin(6\theta):
\int \tfrac{1}{2}\sin(6\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{6}\cos(6\theta)\right) = -\tfrac{1}{12}\cos(6\theta).
Somando todas as parcelas e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva buscada:
-\tfrac{1}{4}\cos(2\theta)+\tfrac{3}{4}\sin(2\theta)-\tfrac{1}{12}\sin(6\theta)-\tfrac{1}{12}\cos(6\theta)+C.

Resposta

-\frac{1}{4}\cos(2\theta)+\frac{3}{4}\sin(2\theta)-\frac{1}{12}\sin(6\theta)-\frac{1}{12}\cos(6\theta)+C

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