Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int[\operatorname{sen}(2 \theta)+\cos (2 \theta)]^{3} d \theta
\int[\operatorname{sen}(2 \theta)+\cos (2 \theta)]^{3} d \theta
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o cubo da soma de
e
. Não há condições adicionais. Nosso objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Escolha do método (e por que): em vez de expandir diretamente o cubo termo a termo, é mais eficiente usar a identidade
mas aqui com
a identidade útil é
. Assim
Usando
e
, obtemos
portanto
Passo 3
Separando a integral em duas partes:
A primeira integral é direta. A segunda tem produtos do tipo
e
; para elas vamos usar fórmulas produto-para-soma:
Aplicando com
e
:
Somando essas duas expressões (pois aparecem juntas no integrando da segunda parte):
Agora juntamos isso com a primeira parte
. Fazendo a soma termo a termo:
Agrupando
e
:
Portanto a decomposição final do integrando é
Passo 4
Agora integramos termo a termo. Lembrando as integrais básicas:
Aplicando a cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando todas as parcelas e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva buscada: