Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \cos (\mathrm{t}) \cos (2 \mathrm{t}) \cos (3 \mathrm{t}) \mathrm{dt}.
\int \cos (\mathrm{t}) \cos (2 \mathrm{t}) \cos (3 \mathrm{t}) \mathrm{dt}.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto das três funções trigonométricas
,
e
. Queremos uma antiderivada (ou família de antiderivadas) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
.
Passo 2
Ferramenta útil (identidade produto-soma): para quaisquer ângulos
e
vale a identidade
Explicação didática: essa identidade vem da soma das fórmulas de cosseno:
logo dividindo por
obtemos a identidade acima. Aqui
e
são variáveis quaisquer; no nosso caso serão valores como
,
,
.
Passo 3
Aplicando a identidade ao par
: tome
e
. Então
Como
é função par (
), isso fica
Passo 4
Substituímos na integranda original:
Desenvolvendo o produto:
Passo 5
Vamos transformar cada termo em soma de cossenos mais simples.
- Para
usamos novamente a identidade produto-soma com e :
- Para
usamos a identidade de duplicação:
Tomando
obtemos
Passo 6
Substituindo as expressões do passo anterior em
, temos
Fatorando os
internos:
Ordenando:
Passo 7
Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica:
e
.
Assim
Assim
Integramos cada parcela:
Passo 8
Multiplicando tudo pelo fator
e somando a constante de integração
, obtemos a antiderivada:
(Você pode checar rapidamente derivando essa expressão: cada termo em seno dará um cosseno com o coeficiente adequado, e reagrupando você volta à forma original.)