Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \cos (\mathrm{t}) \cos (2 \mathrm{t}) \cos (3 \mathrm{t}) \mathrm{dt}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \cos(t)\cos(2t)\cos(3t)\,dt.
Informações dadas: a integranda é o produto das três funções trigonométricas \cos(t), \cos(2t) e \cos(3t). Queremos uma antiderivada (ou família de antiderivadas) dessa função, ou seja, uma expressão F(t)+C tal que F'(t)=\cos(t)\cos(2t)\cos(3t).

Passo 2

Ferramenta útil (identidade produto-soma): para quaisquer ângulos A e B vale a identidade
\cos(A)\cos(B)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).
Explicação didática: essa identidade vem da soma das fórmulas de cosseno:
\cos(A+B)+\cos(A-B)=\big(\cos A\cos B-\sin A\sin B\big)+\big(\cos A\cos B+\sin A\sin B\big)=2\cos A\cos B,
logo dividindo por 2 obtemos a identidade acima. Aqui A e B são variáveis quaisquer; no nosso caso serão valores como t, 2t, 3t.

Passo 3

Aplicando a identidade ao par \cos(t)\cos(3t): tome A=t e B=3t. Então
\cos(t)\cos(3t)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(4t)+\cos(-2t)\big).
Como \cos é função par ( \cos(-2t)=\cos(2t)), isso fica
\cos(t)\cos(3t)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(4t)+\cos(2t)\big).

Passo 4

Substituímos na integranda original:
\cos(t)\cos(2t)\cos(3t)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(4t)+\cos(2t)\big)\cos(2t).
Desenvolvendo o produto:
\cos(t)\cos(2t)\cos(3t)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(4t)\cos(2t)+\cos^2(2t)\big).

Passo 5

Vamos transformar cada termo em soma de cossenos mais simples.
  1. Para \cos(4t)\cos(2t) usamos novamente a identidade produto-soma com A=4t e B=2t:
\cos(4t)\cos(2t)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(6t)+\cos(2t)\big).
  1. Para \cos^2(2t) usamos a identidade de duplicação:
\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2(\theta)=\tfrac{1}{2}\big(1+\cos(2\theta)\big).
Tomando \theta=2t obtemos
\cos^2(2t)=\tfrac{1}{2}\big(1+\cos(4t)\big).

Passo 6

Substituindo as expressões do passo anterior em \tfrac{1}{2}(\cos(4t)\cos(2t)+\cos^2(2t)), temos
\cos(t)\cos(2t)\cos(3t)=\tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{2}\big(\cos(6t)+\cos(2t)\big)+\tfrac{1}{2}\big(1+\cos(4t)\big)\Big).
Fatorando os 1/2 internos:
\cos(t)\cos(2t)\cos(3t)=\tfrac{1}{4}\big(\cos(6t)+\cos(2t)+1+\cos(4t)\big).
Ordenando:
\cos(t)\cos(2t)\cos(3t)=\tfrac{1}{4}\big(1+\cos(2t)+\cos(4t)+\cos(6t)\big).

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica:
\int \cos(k t)\,dt=\tfrac{1}{k}\sin(k t)\quad\text{(para \(k\neq 0\))},
e \int 1\,dt=t.
Assim
\int \cos(t)\cos(2t)\cos(3t)\,dt=\tfrac{1}{4}\int \big(1+\cos(2t)+\cos(4t)+\cos(6t)\big)\,dt.
Integramos cada parcela:
\int 1\,dt = t,\qquad \int \cos(2t)\,dt = \tfrac{1}{2}\sin(2t),
\int \cos(4t)\,dt = \tfrac{1}{4}\sin(4t),\qquad \int \cos(6t)\,dt = \tfrac{1}{6}\sin(6t).

Passo 8

Multiplicando tudo pelo fator \tfrac{1}{4} e somando a constante de integração C, obtemos a antiderivada:
\int \cos(t)\cos(2t)\cos(3t)\,dt=\tfrac{1}{4}t+\tfrac{1}{8}\sin(2t)+\tfrac{1}{16}\sin(4t)+\tfrac{1}{24}\sin(6t)+C.
(Você pode checar rapidamente derivando essa expressão: cada termo em seno dará um cosseno com o coeficiente adequado, e reagrupando você volta à forma original.)

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}t+\frac{1}{8}\sin(2t)+\frac{1}{16}\sin(4t)+\frac{1}{24}\sin(6t)+C

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