Calcule as integrais indefinidas a seguir:
\quad \int \operatorname{sen}^{3}(z) \cos ^{3}(z) d z.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \sin^{3}(z)\,\cos^{3}(z)\,dz.
O conteúdo da matéria é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar substituição para simplificar o integrando.

Passo 2

Observamos que \cos^{3}(z)=\cos^{2}(z)\,\cos(z) e que \cos^{2}(z)=1-\sin^{2}(z). Portanto,
\sin^{3}(z)\,\cos^{3}(z) =\sin^{3}(z)\,\bigl(1-\sin^{2}(z)\bigr)\,\cos(z).

Passo 3

Fazendo a substituição
u = \sin(z), \quad du = \cos(z)\,dz,
a integral em z vira em u:
\int \sin^{3}(z)\,\bigl(1-\sin^{2}(z)\bigr)\,\cos(z)\,dz =\int u^{3}\,(1-u^{2})\,du =\int \bigl(u^{3}-u^{5}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \bigl(u^{3}-u^{5}\bigr)\,du =\frac{u^{4}}{4}-\frac{u^{6}}{6}+C.
Voltando a u=\sin(z), obtemos a antiderivada em z.

Resposta

\int \sin^{3}(z)\,\cos^{3}(z)\,dz =\frac{\sin^{4}(z)}{4}-\frac{\sin^{6}(z)}{6}+C.

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