Calcule as integrais indefinidas a seguir:
\quad \int \operatorname{sen}^{3}(\mathrm{t}) \cos ^{21}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{3}(t)\,\cos^{21}(t)\,dt.
O conteúdo é integração de potências de seno e cosseno: vamos usar a identidade trigonométrica \sin^2(t)=1-\cos^2(t) e, em seguida, a substituição u=\cos(t).

Passo 2

Usamos a identidade para reescrever o integrando:
\sin^{3}(t)\,\cos^{21}(t) =\bigl(\sin^2(t)\bigr)\sin(t)\,\cos^{21}(t) =(1-\cos^2(t))\,\sin(t)\,\cos^{21}(t).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(t) \quad\Longrightarrow\quad du=-\sin(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad \sin(t)\,dt=-du.
Assim a integral fica
\int (1-u^2)\,u^{21}\,(-du) =-\int\bigl(u^{21}-u^{23}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
-\int u^{21}\,du +\int u^{23}\,du =-\frac{u^{22}}{22}+\frac{u^{24}}{24}+C.

Passo 5

Voltando à variável t (onde u=\cos(t)), obtemos a resposta final:
\frac{\cos^{24}(t)}{24}-\frac{\cos^{22}(t)}{22}+C.

Resposta

\int \sin^{3}(t)\,\cos^{21}(t)\,dt =\frac{\cos^{24}(t)}{24}-\frac{\cos^{22}(t)}{22}+C.

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