Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
integral t sin (2 t) d t

Passo 1

Temos a integral indefinida integral tsin(2t),dt. O conteúdo é integração por partes, que se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos usar essa técnica para resolver.

Passo 2

Escolhemos u = t e dv = sin(2t),dt. Então
du = dt, v = integral sin(2t),dt = -12cos(2t)

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral tsin(2t),dt = u,v - integral v,du = -t2cos(2t) - integrall(-tfrac12cos(2t)r),dt = -t2cos(2t) + 12integralcos(2t),dt

Passo 4

Agora calculamos integralcos(2t),dt. Sabemos que
integralcos(2t),dt = 12sin(2t)

Passo 5

Substituindo de volta:
integral tsin(2t),dt = -t2cos(2t) + 12cdot12sin(2t) + C = -t2cos(2t) + 14sin(2t) + C

Resposta

-\tfrac{t}{2}\cos(2t) + \tfrac{1}{4}\sin(2t) + C

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