Mostre que a curva alpha é diferenciável em t0 se, e somente se, lim t t0 alpha(t)-alpha(t0)t-t0=alpha^prime(t0).

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que uma curva alpha é diferenciável em t0 se, e somente se, o limite lim t t0 alpha(t)-alpha(t0)t-t0 = alpha^prime(t0). Vamos usar conceitos de derivadas e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva ser diferenciável em t0. Uma curva alpha(t) é diferenciável em t0 se existe a derivada alpha'(t0), que basicamente representa a taxa de variação de alpha(t) naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite lim t t0 alpha(t)-alpha(t0)t-t0. Esse limite, se existir, é exatamente a definição da derivada de alpha(t) em t0. Ou seja, se esse limite existe e é igual a alpha'(t0), então a curva é diferenciável em t0.

Passo 4

Para provar a equivalência (“se e somente se”), precisamos mostrar duas direções:
  1. Se alpha é diferenciável em t0, então o limite existe e é igual a .
  2. Se o limite existe e é igual a , então alpha'(t0 é diferenciável em alpha'(t0.

Passo 5

Primeira direção:
Se alpha é diferenciável em t0, por definição, alpha'(t0) = lim t t0 alpha(t)-alpha(t0)t-t0. Portanto, o limite existe e é igual à derivada.

Passo 6

Segunda direção:
Se o limite lim t t0 alpha(t)-alpha(t0)t-t0 = alpha^prime(t0) existe, então, por definição, a derivada alpha'(t0) existe. Logo, a curva alpha é diferenciável em t0.

Resposta

Assim, mostramos que a curva alpha é diferenciável em t0 se, e somente se, lim t t0 alpha(t)-alpha(t0)t-t0 = alpha^prime(t0).

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