Mostre que a curva
é diferenciável em
se, e somente se,
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrar que uma curva
é diferenciável em
se, e somente se, o limite
. Vamos usar conceitos de derivadas e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva ser diferenciável em
. Uma curva
é diferenciável em
se existe a derivada
, que basicamente representa a taxa de variação de
naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite
. Esse limite, se existir, é exatamente a definição da derivada de
em
. Ou seja, se esse limite existe e é igual a
, então a curva é diferenciável em
.
Passo 4
Para provar a equivalência (“se e somente se”), precisamos mostrar duas direções:
- Se
é diferenciável em , então o limite existe e é igual a . - Se o limite existe e é igual a , então
é diferenciável em .
Passo 5
Primeira direção:
Se é diferenciável em
, por definição,
. Portanto, o limite existe e é igual à derivada.
Se
Passo 6
Segunda direção:
Se o limite existe, então, por definição, a derivada
existe. Logo, a curva
é diferenciável em
.
Se o limite
Resposta
Assim, mostramos que a curva
é diferenciável em
se, e somente se,
.