Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
integral raiz1+13 x 1x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raiz1+13x,1x^2,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos uma função composta cuja derivada aparece (até um fator) no integrando.

Passo 2

Para simplificar, escolhemos a substituição u = 1 + 13x. Assim, precisamos calcular du. Derivando em relação a x:
du = -13x^2,dx
Logo,
1x^2,dx = -3,du .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral raiz1+13x,1x^2,dx = integral raizu;(-3,du) = -3integral u^1/2,du Agora integramos em u:
-3integral u^1/2,du = -3cdotu^3/23/2 + C = -2,u^3/2 + C

Passo 4

Finalmente, voltamos à variável x usando u = 1 + 13x, obtendo a resposta final escrita de forma explícita e incluindo a constante de integração.

Resposta

-2\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{3/2} + C

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