Calcule as integrais indefinidas a seguir usando uma substituição conveniente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x,sin(x^2),dx. O conteúdo envolvido é técnica de substituição, em que reconhecemos uma parte da derivada interna de uma função composta.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = x^2. Então, derivando ambos os lados, temos du = 2x,dx, ou seja, x,dx = 12du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral x,sin(x^2),dx = integral sin(u) cdot 12du = 12integral sin(u),du

Passo 4

Agora, integramos em u. Sabemos que integral sin(u),du = -cos(u) + C. Logo,
12integral sin(u),du = 12(-cos(u)) + C = -tfrac12cos(u) + C
Voltando a variável x, substituímos u = x^2.

Resposta

-tfrac12cos(x^2) + C

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