Calcule as integrais indefinidas a seguir usando uma substituição conveniente.
Passo 1
Resumo do enunciado e identificação do conteúdo: queremos calcular a integral
. Esse é um caso clássico de substituição em integrais (u-substitution), em que escolhemos uma parte da função cuja derivada aparece no numerador.
Passo 2
Definição da substituição: vamos usar
. Assim, sua derivada em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 3
Reescrevendo a integral em termos de
e integrando: substituindo na integral, obtemos
A integral de
é arctan, então
Passo 4
Volta à variável original e conclusão: substituindo
de volta, ficamos com
Resposta
-\arctan\bigl(\cos(t)\bigr) + C