Calcule as integrais indefinidas a seguir usando uma substituição conveniente.
integral sen(t)1+cos ^2(t) d t

Passo 1

Resumo do enunciado e identificação do conteúdo: queremos calcular a integral integral sin(t)1+cos^2(t),dt. Esse é um caso clássico de substituição em integrais (u-substitution), em que escolhemos uma parte da função cuja derivada aparece no numerador.

Passo 2

Definição da substituição: vamos usar u = cos(t). Assim, sua derivada em relação a t é du = -sin(t),dt, ou seja, sin(t),dt = -du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u e integrando: substituindo na integral, obtemos
integral sin(t)1+cos^2(t),dt = integral -du1+u^2 = - integral du1+u^2
A integral de 1/(1+u^2) é arctan, então
- integral du1+u^2 = -arctan(u) + C

Passo 4

Volta à variável original e conclusão: substituindo u = cos(t) de volta, ficamos com
-arctanl(cos(t)r) + C

Resposta

-\arctan\bigl(\cos(t)\bigr) + C

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