Reescreva a integral iterada como uma integral iterada equivalente na ordem dada.
integral0^1 integraly^1 integral0^y f(x, y, z) d z d x d y=integral triplaE f(x, y, z) d V
cinco outras ordens

Passo 1

O enunciado pede pra gente reescrever a integral iterada\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n como cinco outras ordens de integração equivalentes. O conteúdo é troca de ordem em integrais triplas: a gente vai precisar descrever a região de integração E usando desigualdades e, a partir disso, determinar os limites para cada ordem desejada.

Passo 2

Observando os limites originais 0<= y<=1, y<= x<=1 e 0<= z<= y, vemos que a região E é dada por
Com essa descrição em mãos, podemos extrair limites pra qualquer permutação de E=(x,y,z):0<= z<= y<= x<=1 .

Passo 3

Para a ordem dx,dy,dz ( z é a variável externa): fixando z em [0,1], y varia de z até 1 (pois z<= y<= x<=1) e, a seguir, x varia de y até 1. Logo temos
integral0^1integralz^1integraly^1f(x,y,z),dx,dy,dz

Passo 4

Para a ordem dx,dz,dy ( y externa): fixando y em [0,1], z varia de 0 até y e, em seguida, x varia de y até 1. Assim:
integral0^1integral0^yintegraly^1f(x,y,z),dx,dz,dy

Passo 5

Para a ordem dy,dx,dz ( z externa): fixando z em [0,1], x varia de z até 1 e y vai de z até x. Logo:
integral0^1integralz^1integralz^xf(x,y,z),dy,dx,dz

Passo 6

Para a ordem dy,dz,dx ( x externo): fixando x em [0,1], z varia de 0 até x e y vai de z até x. Assim:
integral0^1integral0^xintegralz^xf(x,y,z),dy,dz,dx

Passo 7

Para a ordem dz,dy,dx ( x externo): fixando x em [0,1], y varia de 0 até x e z vai de 0 até y. Logo:
integral0^1integral0^xintegral0^yf(x,y,z),dz,dy,dx

Resposta

Aqui estão as cinco ordens equivalentes:
Ordem dx dy dz:
integral0^1integralz^1integraly^1f(x,y,z),dx,dy,dz
Ordem dx dz dy:
integral0^1integral0^yintegraly^1f(x,y,z),dx,dz,dy
Ordem dy dx dz:
integral0^1integralz^1integralz^xf(x,y,z),dy,dx,dz
Ordem dy dz dx:
integral0^1integral0^xintegralz^xf(x,y,z),dy,dz,dx
Ordem dz dy dx:
integral0^1integral0^xintegral0^yf(x,y,z),dz,dy,dx

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