Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida de
, usando, se for o caso, frações parciais. O conteúdo envolvido é integração de soma de funções e integração de uma função racional simples, onde vamos usar a regra de integração de potência e, para
, a integral do tipo logarítmica.
Passo 2
Vamos separar a integral em duas partes, pois a integral de uma soma é a soma das integrais:
Aqui não há necessidade de frações parciais complicadas, pois
Passo 3
Para integrar
, usamos a regra de potência
.
No nosso caso, , então
No nosso caso,
Passo 4
Para integrar
, podemos fazer a substituição clássica ou lembrar que
.
Fatorando o 3 (que é constante) fica
Fatorando o 3 (que é constante) fica
Passo 5
Somando as duas partes e colocando a constante de integração única, obtemos a resposta final:
Resposta
\displaystyle \frac{x^2}{2} + 3\ln\bigl|x-2\bigr| + C