Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de x + 3x-2, usando, se for o caso, frações parciais. O conteúdo envolvido é integração de soma de funções e integração de uma função racional simples, onde vamos usar a regra de integração de potência e, para tfrac1x-a, a integral do tipo logarítmica.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes, pois a integral de uma soma é a soma das integrais:
integrall(x + 3x-2r),dx = integral x,dx + integral 3x-2,dx
Aqui não há necessidade de frações parciais complicadas, pois x já é polinomial e tfrac3x-2 é um caso direto de tfrac1x-a.

Passo 3

Para integrar integral x,dx, usamos a regra de potência integral x^n,dx = tfracx^n+1n+1 + C.
No nosso caso, n=1, então
integral x,dx = x^22

Passo 4

Para integrar integral 3x-2,dx, podemos fazer a substituição clássica ou lembrar que
integral 1x-a,dx = lnl|x-ar| + C.
Fatorando o 3 (que é constante) fica
integral 3x-2,dx = 3 integral 1x-2,dx = 3 lnl|x-2r|

Passo 5

Somando as duas partes e colocando a constante de integração única, obtemos a resposta final:

Resposta

\displaystyle \frac{x^2}{2} + 3\ln\bigl|x-2\bigr| + C

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