Em cada um dos itens abaixo, faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3 cosl(x^2r),dx, usando primeiro uma substituição apropriada e depois integração por partes. O conteúdo principal é mudança de variável (substituição) e integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^2. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du. Observando que x^3dx = x^2,(x,dx), temos
x^3,dx = u cdot 12,du = 12u,du

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral x^3cos(x^2),dx = 12integral ucos u,du

Passo 4

Agora aplicamos integração por partes em integral ucos u,du. Escolhemos
U = u, dV = cos u,du;
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dU = du, V = sin u

Passo 5

Pela fórmula de partes integral U,dV = UV - integral V,dU,
integral ucos u,du = usin u - integral sin u,du = usin u + cos u + C

Passo 6

Voltando à variável x:
integral x^3cos(x^2),dx = 12l(usin u + cos ur) + C = 12l(x^2sin(x^2) + cos(x^2)r) + C

Resposta

x^2sin(x^2) + cos(x^2)2 + C

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