Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
$ \int \frac{x+2}{x-1} d x$
$ \int \frac{x+2}{x-1} d x$
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. Esse é um caso de integração de função racional, e podemos usar divisão de polinômios (ou frações parciais) para simplificar.
Passo 2
Observamos que o grau do numerador é igual ao do denominador, então fazemos a divisão polinomial:
Reescrevemos a integral usando essa decomposição:
Passo 3
Integramos termo a termo. Para o primeiro termo temos
. Para o segundo, usamos
, logo
Passo 4
Somando os resultados e acrescentando a constante de integração:
Resposta
x + 3 \ln|x-1| + C