Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
$ \int \frac{2 x+3}{x+1} d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x+3x+1,dx
usando, se for conveniente, a técnica de frações parciais. Aqui temos uma função racional cuja ordem do numerador é igual à do denominador, então vamos simplificar antes de decompor.

Passo 2

Para separar em termos mais fáceis de integrar, fazemos divisão polinomial de 2x+3 por x+1. O quociente é 2 e o resto é 1, pois
2x+3 = 2(x+1) + 1
Logo,
2x+3x+1 = 2 + 1x+1

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  • integral 2,dx = 2x + C1.
  • integral 1x+1,dx = ln|x+1| + C2.
    Somando tudo em uma constante geral C = C1 + C2, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

2x + \ln\lvert x+1\rvert + C

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