Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
integral x^2x+1 d x

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A gente precisa calcular a integral indefinida
integral x^2x+1,dx
Aqui o conteúdo é integração de funções racionais. Sempre que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a dica é fazer divisão de polinômios antes de pensar em frações parciais.

Passo 2

Divisão de polinômios: Vamos dividir x^2 por x+1. A divisão dá quociente x-1 e resto 1, pois
x^2x+1 = x-1 + 1x+1

Passo 3

Reescrevendo a integral: Substituindo na integral original, temos
integral x^2x+1,dx = integral l(x-1 + 1x+1r)dx

Passo 4

Integração termo a termo: Agora integra cada parcela:
  • integral x,dx = x^22
  • integral (-1),dx = -x
  • integral 1x+1,dx = lnl|x+1r|
    Somando tudo e incluindo a constante de integração, chegamos ao resultado.

Passo 5

Resposta finalizada: Juntando as partes, a integral vale
x^22 - x + lnl|x+1r| + C

Resposta

x^22 - x + lnl|x+1r| + C

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