Prove as seguintes equivalências:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a desigualdade
, onde
, é equivalente a
. A matéria envolvida aqui é a manipulação de desigualdades e o entendimento do valor absoluto. Para resolver, vamos entender o que significa
e como podemos reescrever essa expressão sem o valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto. O valor absoluto de um número,
, representa a distância desse número até zero na reta numérica, independente da direção. Então,
representa a distância entre
e
.
Passo 3
A desigualdade
significa que a distância entre
e
é menor que
. Em outras palavras,
está a menos de
unidades de distância de
.
Passo 4
Para eliminar o valor absoluto, podemos reescrever a desigualdade como duas desigualdades combinadas:
Mas na verdade, a maneira correta é considerar que:
Isso porque estamos dizendo que
está entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a desigualdade composta
. Para isolar
, adicionamos
em todas as partes da desigualdade:
Assim, mostramos que
está entre
e
.
Resposta
Portanto, provamos que
, com
, é equivalente a
.