Prove as seguintes equivalências:
|x-a|0 Leftrightarrow a-v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a desigualdade |x - a| < b, onde b > 0, é equivalente a a - b < x < a + b. A matéria envolvida aqui é a manipulação de desigualdades e o entendimento do valor absoluto. Para resolver, vamos entender o que significa |x - a| e como podemos reescrever essa expressão sem o valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto. O valor absoluto de um número, |y|, representa a distância desse número até zero na reta numérica, independente da direção. Então, |x - a| representa a distância entre x e a.

Passo 3

A desigualdade |x - a| < b significa que a distância entre x e a é menor que b. Em outras palavras, x está a menos de b unidades de distância de a.

Passo 4

Para eliminar o valor absoluto, podemos reescrever a desigualdade como duas desigualdades combinadas:
-a < x - a < a
Mas na verdade, a maneira correta é considerar que:
|x - a| < b é equiva<=nte a -b < x - a < b é
Isso porque estamos dizendo que x - a está entre -b e b.

Passo 5

Agora, vamos resolver a desigualdade composta -b < x - a < b. Para isolar x, adicionamos a em todas as partes da desigualdade:
a - b < x < a + b
Assim, mostramos que x está entre a - b e a + b.

Resposta

Portanto, provamos que |x - a| < b, com b > 0, é equivalente a a - b < x < a + b.

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