Um gás é composto por partículas que se movem ao longo de uma linha. A distribuição inicial das partículas é centrada na origem
, e a difusão segue o modelo da equação de Fokker-Planck com
, ou seja, com um termo de arrasto. Se o coeficiente de difusão é
, e a velocidade média
, calcule:
a - A posição média das partículas após
.
b - A variância da posição das partículas após
.
c - A probabilidade de encontrar uma partícula entre
após
.
a - A posição média das partículas após
b - A variância da posição das partículas após
c - A probabilidade de encontrar uma partícula entre
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos partículas se movendo em 1D com distribuição inicial centrada em x=0. A dinâmica segue a equação de Fokker–Planck com termo de arrasto (drift) c e difusão D. Dados: D=0,05 m²/s, c=0,3 m/s, t=100 s. Precisamos achar a média da posição, a variância e a probabilidade de x estar entre 20 m e 22 m em t=100 s.
Passo 2
A média da distribuição com drift constante c e difusão D satisfaz
. Substituindo c=0,3 m/s e t=100 s, obtemos
.
Passo 3
A variância da distribuição drift-difusão é dada por
. Com D=0,05 m²/s e t=100 s, segue
.
Passo 4
A posição x segue uma normal
. Queremos
. Calculando os z’s:
. Assim
Resposta
a) 30 m
b) 10 m²
c) aproximadamente 0,0049 (≈0,49%)
b) 10 m²
c) aproximadamente 0,0049 (≈0,49%)