Um gás é composto por partículas que se movem ao longo de uma linha. A distribuição inicial das partículas é centrada na origem x=0, e a difusão segue o modelo da equação de Fokker-Planck com p neq q, ou seja, com um termo de arrasto. Se o coeficiente de difusão é D=0,05 m^2 / s, e a velocidade média c=0,3 m / s, calcule:
a - A posição média das partículas após t=100 s.
b - A variância da posição das partículas após t=100 s.
c - A probabilidade de encontrar uma partícula entre x=20 mex=22 m após t=100 s.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos partículas se movendo em 1D com distribuição inicial centrada em x=0. A dinâmica segue a equação de Fokker–Planck com termo de arrasto (drift) c e difusão D. Dados: D=0,05 m²/s, c=0,3 m/s, t=100 s. Precisamos achar a média da posição, a variância e a probabilidade de x estar entre 20 m e 22 m em t=100 s.

Passo 2

A média da distribuição com drift constante c e difusão D satisfaz . Substituindo c=0,3 m/s e t=100 s, obtemos .

Passo 3

A variância da distribuição drift-difusão é dada por . Com D=0,05 m²/s e t=100 s, segue .

Passo 4

A posição x segue uma normal . Queremos . Calculando os z’s: . Assim

Resposta

a) 30 m
b) 10 m²
c) aproximadamente 0,0049 (≈0,49%)

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