Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
(k) integral 2 x+1x^3-x^2-x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 2x+1x^3 - x^2 - x + 1,dx usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, montar a decomposição em frações parciais e então integrar termo a termo.

Passo 2

Observe que dá para fatorar o polinômio do denominador por agrupamento. Começamos com
x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) -1(x-1) = (x^2 - 1)(x - 1)
e em seguida notamos que x^2 - 1 = (x-1)(x+1). Logo
x^3 - x^2 - x + 1 = (x-1)^2(x+1)

Passo 3

Agora decomponho
2x+1(x-1)^2(x+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x+1) e comparando coeficientes em
2x + 1 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^2,
obtemos o sistema
A + C = 0, B - 2C = 2, -A + B + C = 1

Passo 5

Resolvendo, chegamos a
A = 14, B = 32, C = -14

Passo 6

Então a integral vira
integral 2x+1(x-1)^2(x+1),dx = integrall(1/4x-1 + 3/2(x-1)^2 - 1/4x+1r)dx

Passo 7

Integramos cada termo usando integraldxx-a=ln|x-a| e integral(x-a)^-2dx= -,(x-a)^-1:
integral 1/4x-1,dx = 14ln|x-1|,
integral 3/2(x-1)^2,dx = 32l(-1x-1r) = -32(x-1),
integral -1/4x+1,dx = -14ln|x+1|

Resposta

14ln|x-1| - 14ln|x+1| - 32(x-1) + C

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