Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
(k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, montar a decomposição em frações parciais e então integrar termo a termo.
Passo 2
Observe que dá para fatorar o polinômio do denominador por agrupamento. Começamos com
e em seguida notamos que . Logo
Passo 3
Agora decomponho
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por e comparando coeficientes em
obtemos o sistema
Passo 5
Resolvendo, chegamos a
A = 14, B = 32, C = -14
Passo 6
Então a integral vira
integral 2x+1(x-1)^2(x+1),dx = integrall(1/4x-1 + 3/2(x-1)^2 - 1/4x+1r)dx
Passo 7
Integramos cada termo usando integraldxx-a=ln|x-a| e integral(x-a)^-2dx= -,(x-a)^-1: