Utilize as fórmulas de seno, cosseno e tangente da soma ou da diferença para calcular os valores de:
tan 5 pi12

Passo 1

O enunciado pede para calcular tan5pi12 usando as fórmulas de soma ou diferença de ângulos. O conteúdo envolvido é a fórmula de soma de tangentes, e vamos precisar dos valores exatos de tanpi4 e tanpi6.

Passo 2

A fórmula de tangente da soma de dois ângulos A e B é dada por:
$$
\tan(A+B)=\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}\n$$

Passo 3

Reconhecemos que 5pi12 = pi4 + pi6. Assim, aplicando a fórmula com A=pi4 e B=pi6:
tanl(tfracpi4+tfracpi6r)=tantfracpi4+tantfracpi61 - tantfracpi4cdottantfracpi6
Sabemos que tantfracpi4=1 e tantfracpi6=tfrac1raiz3, portanto:
$$
\tan\frac{5\pi}{12}=\frac{1 + \tfrac{1}{\sqrt3}}{1 - 1\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}}=\frac{1 + \tfrac{1}{\sqrt3}}{1 - \tfrac{1}{\sqrt3}}\n$$

Passo 4

Basta agora racionalizar o quociente:
1 + tfrac1raiz31 - tfrac1raiz3=tfracraiz3+1raiz3tfracraiz3-1raiz3=raiz3+1raiz3-1timesraiz3+1raiz3+1=(raiz3+1)^22=3+2raiz3+12=2+raiz3

Resposta

2+raiz3

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