Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente. \int \frac{4 x+7}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)} d x
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função racional
\int \frac{4x+7}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
O numerador é \,4x+7\,.
O denominador é o produto \,(x+1)(x^{2}+4)\,, onde \,x+1\, é um fator linear e \,x^{2}+4\, é um quadrático irreducível sobre os reais.
O objetivo é encontrar uma primitiva da função, usando decomposição em frações parciais quando conveniente.
Passo 2
Por que usar frações parciais?
A expressão é uma fração racional com grau do numerador (1) menor que o grau do denominador (3), portanto própria: boa para decomposição em frações parciais.
Como o denominador fatorou-se em um fator linear e um quadrático irreducível, a decomposição geral tem a forma