Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{4 x+7}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função racional
\int \frac{4x+7}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é \,4x+7\,.
  • O denominador é o produto \,(x+1)(x^{2}+4)\,, onde \,x+1\, é um fator linear e \,x^{2}+4\, é um quadrático irreducível sobre os reais.
    O objetivo é encontrar uma primitiva da função, usando decomposição em frações parciais quando conveniente.

Passo 2

Por que usar frações parciais?
  • A expressão é uma fração racional com grau do numerador (1) menor que o grau do denominador (3), portanto própria: boa para decomposição em frações parciais.
  • Como o denominador fatorou-se em um fator linear e um quadrático irreducível, a decomposição geral tem a forma
\frac{4x+7}{(x+1)(x^{2}+4)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4},
onde A,B,C são constantes a determinar. Aqui A/(x+1) trata o fator linear e (Bx+C)/(x^{2}+4) trata o quadrático.

Passo 3

Determinar A,B,C\). Multiplicando ambos os lados por \((x+1)(x^{2}+4)\) obtemos a identidade polinomial \[4x+7 = A(x^{2}+4)+(Bx+C)(x+1).
Expandindo o lado direito:
A x^{2}+4A + (Bx+C)(x+1)=A x^{2}+4A + Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Agrupando termos semelhantes:
(A+B)x^{2} + (B+C)x + (4A+C).
Comparando com 4x+7 = 0\cdot x^{2} + 4x + 7, obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] B+C=4,\\[4pt] 4A+C=7. \end{cases}
Resolvendo:
  • De A+B=0\] vem \(B=-A.
  • Substituindo em B+C=4: -A + C = 4 então C = 4 + A.
  • Substituindo C em 4A+C=7: 4A + (4 + A) = 7 \Rightarrow 5A +4 =7 \Rightarrow 5A=3.
    Logo
A=\frac{3}{5},\qquad B=-\frac{3}{5},\qquad C=4+\frac{3}{5}=\frac{23}{5}.]

Passo 4

Escrevendo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{4x+7}{(x+1)(x^{2}+4)}=\frac{3/5}{x+1}+\frac{\left(-\tfrac{3}{5}\right)x+\tfrac{23}{5}}{x^{2}+4}.
Separando os termos do segundo quociente:
\frac{4x+7}{(x+1)(x^{2}+4)}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{3}{5}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}+\frac{23}{5}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{4x+7}{(x+1)(x^{2}+4)}\,dx = \frac{3}{5}\int\frac{1}{x+1}\,dx -\frac{3}{5}\int\frac{x}{x^{2}+4}\,dx + \frac{23}{5}\int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx.

Passo 5

Integrando cada parcela:
  1. Para \displaystyle \int\frac{1}{x+1}\,dx usa-se a regra básica \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. Assim
\frac{3}{5}\int\frac{1}{x+1}\,dx=\frac{3}{5}\ln|x+1|.
  1. Para \displaystyle \int\frac{x}{x^{2}+4}\,dx fazemos a substituição u=x^{2}+4. Então du=2x\,dx, ou x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int\frac{x}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+\text{const}=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4).
Portanto
-\frac{3}{5}\int\frac{x}{x^{2}+4}\,dx=-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)=-\frac{3}{10}\ln(x^{2}+4).
(Observação: x^{2}+4>0 sempre, então |x^{2}+4|=x^{2}+4.)
  1. Para \displaystyle \int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx usamos a fórmula padrão
\int\frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Aqui a^{2}=4\Rightarrow a=2. Logo
\int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Multiplicando pela constante \tfrac{23}{5}
\frac{23}{5}\int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx=\frac{23}{5}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{23}{10}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 6

Somando as três partes e acrescentando a constante de integração C, a primitiva é
\frac{3}{5}\ln|x+1|-\frac{3}{10}\ln(x^{2}+4)+\frac{23}{10}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}\ln|x+1|-\frac{3}{10}\ln\!\left(x^{2}+4\right)+\frac{23}{10}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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