Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{5}{x(x-2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5}{x(x-2)^{2}}\,dx.
Informações importantes dadas:
  • A integranda é uma função racional com denominação x(x-2)^{2}.
  • É pedido o antiderivado (integração indefinida), ou seja, encontrar uma primitiva mais constante de integração.

Passo 2

Por que usar frações parciais?
  • Quando temos uma função racional cuja razão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador é própria (grau do numerador menor que o do denominador), é comum decompor em frações parciais para integrar termo a termo.
  • Aqui o denominador fatoriza em fatores lineares, incluindo um fator repetido (x-2)^{2}. Para esse caso a forma de decomposição é conhecida e simples de aplicar.

Passo 3

Escolhemos a decomposição padrão para um fator linear repetido. Procura-se constantes A, B, C tais que
\frac{5}{x(x-2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}.
Explicando: cada termo do lado direito é uma fração simples cuja soma deve ser igual à função original para todo x (exceto nos pontos singulares). O objetivo é determinar A,B,C.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x-2)^{2} obtemos a identidade polinomial
5 = A(x-2)^{2} + Bx(x-2) + Cx.
Vamos expandir e agrupar termos. Primeiro,
A(x-2)^{2} = A(x^{2}-4x+4)=Ax^{2}-4Ax+4A,
Bx(x-2)=B(x^{2}-2x)=Bx^{2}-2Bx,
Cx = Cx.
Somando,
5 = (A+B)x^{2} + (-4A-2B+C)x + 4A.
Como a igualdade vale para todo x, igualamos coeficientes dos polinômios:
  • coeficiente de x^{2}: A+B=0,
  • coeficiente de x: -4A-2B+C=0,
  • termo constante: 4A=5.
Da última equação vem
A=\frac{5}{4}.
Da primeira,
B = -A = -\frac{5}{4}.
Substituindo A e B na equação do coeficiente de x:
-4\cdot\frac{5}{4} - 2\cdot\left(-\frac{5}{4}\right) + C = 0.
Calculando os termos:
-4\cdot\frac{5}{4} = -5,\qquad -2\cdot\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{5}{2},
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-5 + \frac{5}{2} + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}.

Passo 5

Portanto a decomposição por frações parciais ficou
\frac{5}{x(x-2)^{2}} = \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{x} - \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{x-2} + \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{(x-2)^{2}}.
Agora integraremos termo a termo.

Passo 6

Recordando integrais básicas que vamos usar:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{(x-a)^{2}}\,dx = \int (x-a)^{-2}\,dx = -(x-a)^{-1} + C = -\frac{1}{x-a} + C.
    Explicação rápida do último: derivando -(x-a)^{-1} obtém-se (x-a)^{-2} por regra da cadeia.
Integrando cada termo:
\int \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{5}{4}\ln|x|,
\int -\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx = -\frac{5}{4}\ln|x-2|,
\int \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx = \frac{5}{2}\cdot\left(-\frac{1}{x-2}\right) = -\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{x-2}.

Passo 7

Somando as primitivas dos termos (e adicionando a constante de integração C) obtemos a primitiva da função original.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}\ln|x|-\frac{5}{4}\ln|x-2|-\frac{5}{2(x-2)}+C

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