Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações importantes dadas:
- A integranda é uma função racional com denominação
. - É pedido o antiderivado (integração indefinida), ou seja, encontrar uma primitiva mais constante de integração.
Passo 2
Por que usar frações parciais?
- Quando temos uma função racional cuja razão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador é própria (grau do numerador menor que o do denominador), é comum decompor em frações parciais para integrar termo a termo.
- Aqui o denominador fatoriza em fatores lineares, incluindo um fator repetido
. Para esse caso a forma de decomposição é conhecida e simples de aplicar.
Passo 3
Escolhemos a decomposição padrão para um fator linear repetido. Procura-se constantes
,
,
tais que
Explicando: cada termo do lado direito é uma fração simples cuja soma deve ser igual à função original para todo
(exceto nos pontos singulares). O objetivo é determinar
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Vamos expandir e agrupar termos. Primeiro,
Somando,
Como a igualdade vale para todo
, igualamos coeficientes dos polinômios:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
Da última equação vem
Da primeira,
Substituindo
e
na equação do coeficiente de
:
Calculando os termos:
logo
Passo 5
Portanto a decomposição por frações parciais ficou
Agora integraremos termo a termo.
Passo 6
Recordando integrais básicas que vamos usar:
-
. -
. -
.
Explicação rápida do último: derivandoobtém-se por regra da cadeia.
Integrando cada termo:
Passo 7
Somando as primitivas dos termos (e adicionando a constante de integração
) obtemos a primitiva da função original.