Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas (o que temos no enunciado):
Informações dadas (o que temos no enunciado):
- O integrando é a função racional
. - O denominador é um polinômio quadrático
. - É solicitado encontrar a primitiva (integral indefinida), que vai incluir uma constante de integração
.
Passo 2
Fatorar o denominador: isso ajuda muito na técnica de frações parciais quando o denominador se separa em fatores lineares.
Calcular as raízes de . Procura-se dois números cuja soma é
e produto é
. Esses números são
e
. Logo:
Calcular as raízes de
Ter o denominador em fatores lineares é perfeito para aplicar frações parciais.
Passo 3
Explicar a ideia de frações parciais (aula rápida e direta):
- Quando uma função racional tem denominador que fatora em fatores lineares distintos, podemos escrever a função como soma de termos do tipo
. - Aqui, como
e são fatores distintos, buscamos constantes e tais que
- Depois de encontrar
e , cada termo é fácil de integrar porque .
Passo 4
Montar a igualdade e eliminar denominadores para encontrar
Agora desenvolve o lado direito e agrupa termos:
Comparando coeficientes de
e do termo constante no polinômio à direita com os da esquerda (esquerda tem coeficiente de
igual a
e termo constante
), obtemos o sistema:
Subtrai-se a segunda equação da primeira para eliminar
em
dá
Passo 5
Com os valores encontrados, reescreve-se o integrando em frações parciais:
Portanto a integral original fica
Passo 6
Integrar termo a termo, lembrando a fórmula básica:
Aplicando:
Somando as duas primitivas e juntando as constantes
e
numa única constante
, obtemos a primitiva geral:
Passo 7
Comentário final e alternativa de escrita: é possível escrever a resposta combinando logaritmos:
mas a forma somada com coeficientes em frente dos logaritmos é perfeitamente adequada e mais direta na maioria das provas.