Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{2 x}{x^{2}+3 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{2 x}{x^{2}+3 x+2}\,dx.
Informações dadas (o que temos no enunciado):
  • O integrando é a função racional \dfrac{2x}{x^{2}+3x+2}.
  • O denominador é um polinômio quadrático \,x^{2}+3x+2.
  • É solicitado encontrar a primitiva (integral indefinida), que vai incluir uma constante de integração C.

Passo 2

Fatorar o denominador: isso ajuda muito na técnica de frações parciais quando o denominador se separa em fatores lineares.
Calcular as raízes de x^{2}+3x+2. Procura-se dois números cuja soma é 3 e produto é 2. Esses números são 1 e 2. Logo:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Ter o denominador em fatores lineares é perfeito para aplicar frações parciais.

Passo 3

Explicar a ideia de frações parciais (aula rápida e direta):
  • Quando uma função racional tem denominador que fatora em fatores lineares distintos, podemos escrever a função como soma de termos do tipo \dfrac{A}{x+a}.
  • Aqui, como (x+1) e (x+2) são fatores distintos, buscamos constantes A e B tais que
\frac{2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}.
  • Depois de encontrar A e B, cada termo é fácil de integrar porque \displaystyle\int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C.

Passo 4

Montar a igualdade e eliminar denominadores para encontrar A\) e \(B\). Multiplicando ambos os lados por \((x+1)(x+2)\) obtém-se: \[2x = A(x+2) + B(x+1).
Agora desenvolve o lado direito e agrupa termos:
2x = (A+B)x + (2A + B).
Comparando coeficientes de x e do termo constante no polinômio à direita com os da esquerda (esquerda tem coeficiente de x igual a 2 e termo constante 0), obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 2,\\[4pt] 2A + B = 0. \end{cases}
Subtrai-se a segunda equação da primeira para eliminar B\]: \[(A+B) - (2A+B) = 2 - 0 \quad\Rightarrow\quad -A = 2 \quad\Rightarrow\quad A = -2.\] Substituindo \(A=-2 em A+B=2
-2 + B = 2 \quad\Rightarrow\quad B = 4.]

Passo 5

Com os valores encontrados, reescreve-se o integrando em frações parciais:
\frac{2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{-2}{x+1}+\frac{4}{x+2}.
Portanto a integral original fica
\int \frac{2x}{x^{2}+3x+2}\,dx = \int\!\left(\frac{-2}{x+1}+\frac{4}{x+2}\right)dx.

Passo 6

Integrar termo a termo, lembrando a fórmula básica:
\int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C.
Aplicando:
\int \frac{-2}{x+1}\,dx = -2\ln|x+1| + C_1, \qquad \int \frac{4}{x+2}\,dx = 4\ln|x+2| + C_2.
Somando as duas primitivas e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C, obtemos a primitiva geral:
-2\ln|x+1| + 4\ln|x+2| + C.

Passo 7

Comentário final e alternativa de escrita: é possível escrever a resposta combinando logaritmos:
-2\ln|x+1| + 4\ln|x+2| = \ln\!\big(|x+2|^{4}\big) - \ln\!\big(|x+1|^{2}\big) = \ln\!\left(\frac{|x+2|^{4}}{|x+1|^{2}}\right),
mas a forma somada com coeficientes em frente dos logaritmos é perfeitamente adequada e mais direta na maioria das provas.

Resposta

\displaystyle -2\ln|x+1|+4\ln|x+2|+C

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