Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função racional
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é uma função racional, isto é, razão de dois polinômios.
- O denominador fatorado é
. - Grau do numerador
e grau do denominador (iguais), portanto antes de aplicar frações parciais é conveniente fazer a divisão polinomial para separar uma parte polinomial e uma fração própria.
Passo 2
Expandir o denominador e fazer a divisão polinomial com resto:
Fazer a divisão de
por
. Como os graus são iguais, o quociente é
e o resto é
Logo podemos reescrever o integrando como soma de uma parte polinomial e uma fração própria:
Passo 3
Aplicar frações parciais à fração própria
. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se a identidade polinomial
Expandir o lado direito:
Passo 4
Igualando coeficientes de
Resolver o sistema: da primeira equação (B=-1-A]. Substituindo na segunda:
Então
Portanto a decomposição em frações parciais é
Assim o integrando fica
]
Então
Portanto a decomposição em frações parciais é
Assim o integrando fica
Passo 5
Integrar termo a termo, usando as fórmulas básicas:
- Para
. - Para
. Explicação rápida: a derivada de é , logo esta é uma primitiva válida. Além disso, a constante multiplicativa sai da integral por linearidade: para constante .
Aplicando isso aos termos:
A primitiva geral do integrando é a soma dessas primitivas mais uma constante de integração.