Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{x^{2}+1}{(x-1)(x+2)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função racional
\int \frac{x^{2}+1}{(x-1)(x+2)}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é uma função racional, isto é, razão de dois polinômios.
  • O denominador fatorado é (x-1)(x+2).
  • Grau do numerador =2 e grau do denominador =2 (iguais), portanto antes de aplicar frações parciais é conveniente fazer a divisão polinomial para separar uma parte polinomial e uma fração própria.

Passo 2

Expandir o denominador e fazer a divisão polinomial com resto:
(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2.
Fazer a divisão de x^{2}+1 por x^{2}+x-2. Como os graus são iguais, o quociente é 1 e o resto é
x^{2}+1 - 1\cdot(x^{2}+x-2)=x^{2}+1 - (x^{2}+x-2) = -x+3.
Logo podemos reescrever o integrando como soma de uma parte polinomial e uma fração própria:
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x+2)} = 1 + \frac{-x+3}{(x-1)(x+2)}.

Passo 3

Aplicar frações parciais à fração própria \dfrac{-x+3}{(x-1)(x+2)}. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{-x+3}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+2) obtém-se a identidade polinomial
-x+3 = A(x+2)+B(x-1).
Expandir o lado direito:
-x+3 = (A+B)x + (2A - B).

Passo 4

Igualando coeficientes de x\) e término constante obtém-se o sistema linear \[\begin{cases} A+B = -1,\\[4pt] 2A - B = 3. \end{cases}
Resolver o sistema: da primeira equação (B=-1-A]. Substituindo na segunda:
2A - (-1-A) = 3 \quad\Rightarrow\quad 2A+1+A=3 \quad\Rightarrow\quad 3A=2 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{3}.
Então
B = -1 - A = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}.
Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{-x+3}{(x-1)(x+2)} = \frac{2/3}{x-1} - \frac{5/3}{x+2}.
Assim o integrando fica
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x+2)} = 1 + \frac{2/3}{x-1} - \frac{5/3}{x+2}.]

Passo 5

Integrar termo a termo, usando as fórmulas básicas:
  • Para \displaystyle \int 1\,dx = x + C.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. Explicação rápida: a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}, logo esta é uma primitiva válida. Além disso, a constante multiplicativa sai da integral por linearidade: \int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx para constante k.
Aplicando isso aos termos:
\int 1\,dx = x, \qquad \int \frac{2/3}{x-1}\,dx = \frac{2}{3}\ln|x-1|, \qquad \int -\frac{5}{3}\frac{1}{x+2}\,dx = -\frac{5}{3}\ln|x+2|.
A primitiva geral do integrando é a soma dessas primitivas mais uma constante de integração.

Resposta

x+\dfrac{2}{3}\ln|x-1|-\dfrac{5}{3}\ln|x+2|+C

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