Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente. \int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)^{3}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)^{3}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
O integrando é uma função racional (quociente de polinômios).
O numerador é o polinômio 2x^{2}+3x+1.
O denominador é (x+1)^{3}, ou seja, um fator linear repetido de multiplicidade 3.
A integral é indefinida (devemos adicionar uma constante de integração).
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática e amigável).
Para integrar racionalmente, quando o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador fatoriza em potências de fatores lineares, a técnica natural é a decomposição em frações parciais.
Regra útil: se o denominador contém um fator (x-a)^{n}, na decomposição devemos incluir termos da forma
Isto é a aplicação direta da regra para um fator linear repetido de ordem 3.
Passo 4
Encontrar A,B,C\) multiplicando ambos os lados por \((x+1)^{3}\) e comparando coeficientes.
Multiplicando por \((x+1)^{3}\) obtemos a identidade de polinômios
\[2x^{2}+3x+1 = A(x+1)^{2}+B(x+1)+C.
Agora expandimos o lado direito passo a passo:
A(x+1)^{2}=A(x^{2}+2x+1)=A x^{2}+2A x + A,
então
A(x+1)^{2}+B(x+1)+C = A x^{2} + (2A+B)x + (A+B+C).
Comparando coeficientes com 2x^{2}+3x+1 obtemos o sistema
Substituindo (A=2] na segunda equação: 2\cdot 2 + B = 3 \quad\Rightarrow\quad B = 3-4 = -1.
Na terceira: 2 + (-1) + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 0.]
Passo 5
Reescrever a integral usando os coeficientes encontrados.
Com A=2, B=-1, C=0 temos
onde C é a constante de integração total (combinação de C_1 e C_2).
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): derivando o resultado obtido deve-se recuperar o integrando.
Derivando F(x)=2\ln|x+1|+\dfrac{1}{x+1} obtemos
F'(x)=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Colocando sobre denominador comum (x+1)^{3} (ou observando a equivalência algébrica) recupera-se