Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)^{3}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é uma função racional (quociente de polinômios).
  • O numerador é o polinômio 2x^{2}+3x+1.
  • O denominador é (x+1)^{3}, ou seja, um fator linear repetido de multiplicidade 3.
  • A integral é indefinida (devemos adicionar uma constante de integração).

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática e amigável).
  • Para integrar racionalmente, quando o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador fatoriza em potências de fatores lineares, a técnica natural é a decomposição em frações parciais.
  • Regra útil: se o denominador contém um fator (x-a)^{n}, na decomposição devemos incluir termos da forma
\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_n}{(x-a)^n}.
  • Aqui o denominador é (x+1)^{3}, que corresponde ao caso (x-a)^3 com a=-1. Assim esperamos uma decomposição com três termos sobre potências de x+1.
  • A vantagem: cada fração parcial é fácil de integrar (logaritmo ou potência).

Passo 3

Escrever a forma geral da decomposição e justificar.
Postulamos que existem constantes A,B,C tais que
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)^{3}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{(x+1)^{3}}.
Isto é a aplicação direta da regra para um fator linear repetido de ordem 3.

Passo 4

Encontrar A,B,C\) multiplicando ambos os lados por \((x+1)^{3}\) e comparando coeficientes. Multiplicando por \((x+1)^{3}\) obtemos a identidade de polinômios \[2x^{2}+3x+1 = A(x+1)^{2}+B(x+1)+C.
Agora expandimos o lado direito passo a passo:
A(x+1)^{2}=A(x^{2}+2x+1)=A x^{2}+2A x + A,
então
A(x+1)^{2}+B(x+1)+C = A x^{2} + (2A+B)x + (A+B+C).
Comparando coeficientes com 2x^{2}+3x+1 obtemos o sistema
\begin{cases} A = 2,\\[4pt] 2A+B = 3,\\[4pt] A+B+C = 1. \end{cases}
Substituindo (A=2] na segunda equação:
2\cdot 2 + B = 3 \quad\Rightarrow\quad B = 3-4 = -1.
Na terceira:
2 + (-1) + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 0.]

Passo 5

Reescrever a integral usando os coeficientes encontrados.
Com A=2, B=-1, C=0 temos
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)^{3}}=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{0}{(x+1)^{3}} = \frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Portanto a integral se separa em duas integrais mais simples:
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)^{3}}\,dx = \int \frac{2}{x+1}\,dx - \int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx.

Passo 6

Integrar termo a termo explicando as fórmulas usadas.
  • Regra 1 (logaritmo): \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C. Em geral, \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
  • Regra 2 (potência): \displaystyle \int (x+1)^{n}\,dx=\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aqui usamos n=-2, então
\int (x+1)^{-2}\,dx=\frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+1}+C.
Aplicando às duas parcelas:
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1| + C_1,
\int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x+1} + C_2.
Assim
\int \frac{2}{x+1}\,dx - \int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = 2\ln|x+1| -\left(-\frac{1}{x+1}\right) + C = 2\ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C,
onde C é a constante de integração total (combinação de C_1 e C_2).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): derivando o resultado obtido deve-se recuperar o integrando.
Derivando F(x)=2\ln|x+1|+\dfrac{1}{x+1} obtemos
F'(x)=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Colocando sobre denominador comum (x+1)^{3} (ou observando a equivalência algébrica) recupera-se
F'(x)=\frac{2x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}},
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

2\ln|x+1|+\dfrac{1}{x+1}+C

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