Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)}\,dx.
Informações dadas:
  • É uma integral indefinida de uma função racional \dfrac{x^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)}.
  • O denominador fatora-se como (x-1)^{2}(x+1), ou seja, tem um fator linear repetido (x-1) com multiplicidade 2, e um fator linear simples (x+1).
    A única pergunta é: calcular a primitiva (a integral indefinida) dessa função, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Verificação rápida do tipo de integrand e escolha do método:
  • O numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3, então a fração é própria (grau do numerador menor que o do denominador).
  • Para funções racionais com denominador que se fatoriza em polinômios lineares (possivelmente repetidos), a técnica apropriada e eficiente é a decomposição em frações parciais.
    Regra importante (explicação didática): se um fator linear (x-a) aparece com multiplicidade n, na decomposição em frações parciais devemos incluir termos
\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_n}{(x-a)^n}.
Aqui temos (x-1)^2 e (x+1), portanto a forma geral da decomposição é
\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Depois de determinar A,B,C integra-se termo a termo.

Passo 3

Formar a identidade para encontrar A,B,C. Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x+1) obtemos a identidade polinomial
x^{2}=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^{2}.
Esta igualdade deve valer para todo x. Existem dois modos práticos para achar A,B,C: (i) substituir valores convenientes de x que anulam termos; (ii) expandir e igualar coeficientes. Aqui usaremos a substituição de valores e, se necessário, um valor extra.

Passo 4

Determinação das constantes por substituição:
  • Substitua x=1. Então x^{2}=1 e a identidade vira
1 = A\cdot 0 + B\cdot(1+1) + C\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1 = 2B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{2}.
  • Substitua x=-1. Então x^{2}=1 e
1 = A\cdot 0 + B\cdot 0 + C\cdot(-1-1)^{2} = C\cdot 4 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{4}.
  • Para obter A use um valor simples, por exemplo x=0. Com x=0 a identidade dá
0 = A(0-1)(0+1)+B(0+1)+C(0-1)^{2} = -A + B + C.
Substituindo B=\dfrac{1}{2} e C=\dfrac{1}{4} obtemos
0 = -A + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -A + \frac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{4}.
Resumo dos coeficientes:
A=\frac{3}{4},\qquad B=\frac{1}{2},\qquad C=\frac{1}{4}.

Passo 5

Reescrevendo a integral usando a decomposição encontrada:
\int \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)}\,dx = \int\!\left(\frac{3/4}{x-1}+\frac{1/2}{(x-1)^{2}}+\frac{1/4}{x+1}\right)dx.
Integramos termo a termo. Lembretes e fórmulas básicas (explicação didática):
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a| + C. Isso vem porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}.
  • \displaystyle \int (x-a)^{-2}\,dx=\int (x-a)^{-2}dx=-(x-a)^{-1}+C. Isso vem porque \dfrac{d}{dx}(x-a)^{-1}=-1\cdot (x-a)^{-2}. Portanto a integral é o negativo do inverso.
    Aplicando:
\int \frac{3/4}{x-1}\,dx = \frac{3}{4}\ln|x-1|,
\int \frac{1/2}{(x-1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int (x-1)^{-2}dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{x-1}\right) = -\frac{1}{2(x-1)},
\int \frac{1/4}{x+1}\,dx = \frac{1}{4}\ln|x+1|.
Somando os termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos uma primitiva:
\frac{3}{4}\ln|x-1| - \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{4}\ln|x+1| + C.

Resposta

\dfrac{3}{4}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2(x-1)} + \dfrac{1}{4}\ln|x+1| + C

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