Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- É uma integral indefinida de uma função racional
. - O denominador fatora-se como
, ou seja, tem um fator linear repetido com multiplicidade 2, e um fator linear simples .
A única pergunta é: calcular a primitiva (a integral indefinida) dessa função, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Verificação rápida do tipo de integrand e escolha do método:
- O numerador tem grau
e o denominador tem grau , então a fração é própria (grau do numerador menor que o do denominador). - Para funções racionais com denominador que se fatoriza em polinômios lineares (possivelmente repetidos), a técnica apropriada e eficiente é a decomposição em frações parciais.
Regra importante (explicação didática): se um fator linearaparece com multiplicidade , na decomposição em frações parciais devemos incluir termos
Aqui temos
e
, portanto a forma geral da decomposição é
onde
são constantes a determinar. Depois de determinar
integra-se termo a termo.
Passo 3
Formar a identidade para encontrar
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Esta igualdade deve valer para todo
. Existem dois modos práticos para achar
: (i) substituir valores convenientes de
que anulam termos; (ii) expandir e igualar coeficientes. Aqui usaremos a substituição de valores e, se necessário, um valor extra.
Passo 4
Determinação das constantes por substituição:
- Substitua
. Então e a identidade vira
- Substitua
. Então e
- Para obter
use um valor simples, por exemplo . Com a identidade dá
Substituindo
e
obtemos
Resumo dos coeficientes:
Passo 5
Reescrevendo a integral usando a decomposição encontrada:
Integramos termo a termo. Lembretes e fórmulas básicas (explicação didática):
-
. Isso vem porque a derivada de é . -
. Isso vem porque . Portanto a integral é o negativo do inverso.
Aplicando:
Somando os termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos uma primitiva: